Soit, par exemple

Celte fonction a un pôle z = ai au-dessus de l'axe des x ei n'a aucun point critique sur cet axe. De plus, l'intégrale

— j dx est finie et déterminée. Elle aura donc pour

valeur 211 «A, A désignant le résidu de — ^— — — par rapport

au pôle aL Or, si nous posons 3 = ai-{- h, cette expression

devient

2ai/i-\-/i* 2 ai h

Donc

2ai et

Séparons encore, dans cette équation, la partie réelle de la partie imaginaire; il viendra

COSJ7 , ir

— ^ dx=:z - e-'*,

sin J7

dx •=: O.

272. Considérons, comme troisième application, la fonction e~*\ Intégrons-la suivant le rectangle ABGD {fig- i4)-

Pig. 14.

La fonction e~*' restant finie et monodrome, l'intégrale sera nulle ; d^où la condition

•^AB *^BC *^Ch *^0A

Supposons que les longueurs OA=j!?, OB = y croissent indéfiniment, la hauteur BC conservant, au contraire, une longueur constante a.

L^intégrale / aura évidemment pour limite