DA

im 1 =0.

ou

Enfin, dans l'intégrale 1 , posons 2 = ai:-hf; t variera de + 00 à — 00, et l'on aura

lim Ç e-'-'dz= f e-^^'^'^*dt.

L'équation (5) deviendra donc

/ e^' e-'* {cos 2 at — isin 2 ai) dt=:^.

Divisant par e**' et séparant les parties réelles des parties imaginaires, il viendra

/ e"'' cos2atdt:=ze-^*^j

I e~'* sin 2 al dt =10.

S73. Considérons, en dernier lieu, la fonction /{z):=: ( n entier positif).

LXTÉGRÀLBS COMPLEXES. 289

{nté^rons-la le long d'un cercle c {^fig* i5) de rayon r infiniment pelil, décrit autour de Torigine.

rig. 10.

L'intégrale sera égale au produit de aiti par le résidu de la fonction correspondant au pôle ;; = o. Mais on a, en se tenant à celle des valeurs du radical qui se réduit à i pour z = 0,

sT^

1XZ

X,, . . -, X,;, . . . désignant les polynômes de Legendre {CaU cul différentiel, 273). Divisant par ;5""^*, on trouvera évidemment pour résidu X;,. On aura donc

TZl r -«-4-1 i/ ,

rfz

2 JC Z ~T~ Z

274. Le radical y/i — 'àjcz-\-z- s'annule pour les doux valeurs de z qui ont pour affixe a =z x -\- yjx- — i et

a' = .r — v'-c- — i. Entourons ces points par des cercles y et •/ de rayons infiniment petits p et p'; joignons ces cercles par une droite mm! dirigée suivant la ligne des centres et considérons le contour K formé par la droite mw! ^ le cercle y', la droite m' m et le cercle y. Soit, enfin, C un cercle de rayon infini tracé autour de l'origine.

agO SECONDE TARTIE. — COAPITRE V.

La fonction â intégrer reste monodrome dans l'espace com^ pris entre les contours C, K et c. On sait, en effet, que le radical change de signe lorsqu'on tourne autour d'un des points critiques a et a'; mais, tant qu'on ne traverse pas la ligne mni\ on ne pourra tourner autour d'un de ces points sans envelopper l'autre en même temps, ce qui donne un nombre pair de changements de signe.

On aura donc