Si f est continue et différente de zéro au point

(a, u, . . .), -^ sera continue en ce point.

Soient, en effet, ^x, Ay, ... un système d'accroissements donnés à x, y, ... ; A/ l'accroissement correspondant de /;

celui de -p sera

et, si I A/1 < |/|, son module sera au plus égal à

et sera moindre que £, si l'on a, en outre,

Or il suffît, par hypothèse, pour être assuré que ces inégalités sont satisfaites, d'assujettir | A:r |, | Aj^ |, ... à rester inférieurs à un nombre fixe 8.

62. Une fonction f{x, JK, . . .) est dite continue dans un ensemble E, si elle est continue en chacun de ses points.

Si cet ensemble E est borné et par/ait^ la continuité y sera uni/orme.

Ce terme demande quelques explications.

Soit, en général, cp une fonction de deux séries de variables X, y, ... et h, Supposons que, pour chaque

système de valeurs de x, y, ... contenu dans un ensemble E, o tende vers une limite déterminée lorsque A, . . . tendent vers des limites données a, .... L'ensemble de ces valeurs limites sera une certaine fonction $des variables x, y,

On pourra, par définition, pour chaque nombre positif s et pour chaque point (x^y^ . . .) de E, assigner un nombre

positif 3, tel que l'on ait toujours

dès que \ h — a |, ... sont «< ù.

Il existe, d'ailleurs, une infinité de nombres S satisfaisant à cette condition ; car, si elle est remplie pour une valeur de 8, elle le sera pour toute valeur plus petite. Nous désignerons par A le maximum de ces nombres o (si la condition était satisfaite pour toute valeur de o, A serait infini).

Nous obtenons ainsi, pour chaque valeur de s, un ensemble de nombres positifs A correspondant aux divers points de E. Cet ensemble de nombres admettra un minimum r\ positif ou nul, lequel ne dépend plus que de s, et la condition (i) sera satisfaite pour tout point de E, tant que l'on aura

|/i — a|<yî,

Si donc y\ reste >> o, quelque petit que soit £, on pourra, pour chaque valeur positive de £, assigner un autre nombre positif rj indépendant de x^ y, . . . et tel que l'on ait^ pour tout point de E,

dès que \h — a |, ... sont << r\.

On dira, dans ce cas, que la fonction cp converge uniformément vers sa bmite 4> dans tout l'ensemble E.

Appliquons cette notion à une fonction /(.r, j^, ...) continue dans l'ensemble E. D'après la définition de la continuité, f(x-hh,y-^k, ...) tend vers /(.x^ y^ ■ - ■) lorsque A, A , ... tendent vers zéro. Et la continuité sera uniforme si l'on peut, quel que soit e, trouver une quantité positive yj indépendante de ^, y, ... et telle que l'on ait, pour tout point de E,

|/(^ + /ï,j + Â-, ...)-/(.r, y, ...)|<£ dès que

63. Ces explications données, procédons à la démonstra- J. — I. 4

5o PREMIÈRE PAHTIE - rilAPITRE 1.

lion (lu tliéorènie. 11 nous faut établir que le minimum r^ des nombres A correspondant aux divers points (x, y, . . .) de E est nécessairement >> o.

Supposons que r, fut nul. L'ensemble des A contiendrait des nombres moindres que toute quantité donnée. Donc E contiendrait une suite indéfinie de points /?(,, /?<, . . ., /?«, . . . pour lesquels A serait respectivement moindre que s,

Ces points admettraient au moins un point limite II, puisque E est borné; mais E est, en outre, parfait; il contiendrait donc le point II.

Cela posé, on pourrait (28) déterminer, dans la suite Po: P\i P'ii •••? une suite indéfinie de points /?„„, />ai? --i /?a„) • • • convergeant vers II et tels que ao, a,, . . ., a„ aillent en croissant; les valeurs correspondantes de A étant moindres

que -— » • • • ? — — ? • • • décroîtront indéfiniment.

On pourrait donc trouver dans E un point tel que son écart à n et la valeur de A qui lui correspond fussent simultanément plus petits que toute quantité donnée. Ce résultat entraîne une contradiction. En effet, la fonction /* étant continue au point II = ( .ro, jKo? • • •)' ^*^ peut assigner une quantité positive 8' telle que l'on ait

dès que

et il est aisé de Noir (juc pour tout point n'=(j7', j', ...) de E dont l'écart à 11 est << — > le nombre A sera au moins

Ç2al a — •

Soit, en efî'et, x' =:^ Xq-\~ h\ y' z=yQ-\- k' , .... On aura, par hjpotbèse,

VARIABLES RÉELLKS. 5l

et, a fortiori,

ca

Cela posé, on a, si | A | << — , | /: | <C — ? • ■ '

+ |/(^',r', ...)-/(^o,.ro, ...)l

+ I /(^o + /î', /o 4- A', ... ) -/(^>fo, /o, • • • ) I < £, r, |A-+-A'|, |>^^ + A^'|, ... et | A' |, |A'|, ... élaiit < o',

chacun des deux termes du second membre est << -

64. Théorème. — Soient f-if\, ... des fonctions de x^ y^ ... continues dans un ensemble E; et soit F V ensemble des points (/, /n---) ^l^i correspondent aux divers points de E.

i" aS/ E est borné et parfait, F le sera également.

2° Si E est dun seul tenant, F le sera également.

Supposons, en effet, que E soit borné et parfait. Si F n'était pas borné, on pourrait j déterminer un point q^^ où la somme

fût plus grande qu'un nombre donné quelconque L; puis un autre point ^,, où cette somme fiit > 2L; un autre point (^25 où elle fût >> 4E, etc. Soient /?o, p\i p-ii ... les points correspondants de E. Ils seront tous différculs, car/, /",, ... n'ont qu'un seul système de valeurs en chaque point de E. Leur nombre étant infini, ils admettent au moins un point limite 11, lequel appartiendra à E. Et l'on voit, comme au numéro précédent, qu'il devrait exister dans E des points dont l'écart à 11 fût moindre que toute quantité donnée, la valeur correspondante de s étant en même temps plus grande

que toute quantité donnée. Ce résultat est contradictoire. Soit, en eft'et, o la valeur de s au point II. La fonctions étant évidemment continue, pour tout point de E dont l'écart à II est moindre qu'un certain nombre 8, la valeur de s reste comprise entre les deux nombres fixes o — s et cp -|- s.

Il reste à prouver que F est parfait, c'est-à-dire contient son dérivé F'. Soit q' un point de F' vers lequel converge une suite infinie c/q, ^j, ..., rj„^ ... de points de F. Les points correspondants de E, /?07/>m ---^ Pni •••? seront tous distincts, car à cliaque point de E répond un seul point de F. Cette suite admet donc au moins un point limite H, appartenant à E, et contient une suite de points /?a,, /^a,5 Pa^i • • • ^i" convergent vers n. Les points correspondants de F convergent vers le point ^ de F qui correspond à H; mais ils convergent vers q' . Donc q' se confond avec q et appartient à F.

Supposons enfin que E soit d'un seul tenant et montrons qu'il en est de même de F. Soient ^ et Q deux points quelconques de F;

p = {x,y,...) et P:=(X,Y, ...)

les points correspondants de E; on peut les relier par une chaîne de points intermédiaires yo,, /?25 • • •-, telle que l'écart