I .r/,+1 — ^A- 1, I ,v'/.+i — Yk V

soit moindre (ju'un nombre donné quelconque r,.

Or, la continuité étant uniforme dans tout le domaine E, on peut prendre r, assez petit pour que, pour toute valeur de /r, chacune des quantités

et, par suite, leur somme, devienne aussi petite qu'on voudra. Or, cette somme représente l'écart des points qj, et qu^^ qui correspondent à /»A et à/?A^i . Les points ^, ^,, . . ., Q forment ainsi une chaîne où l'écart de deux points consécutifs est moindre qu'un nombre s choisi arbitrairement. Notre proposition est donc établie.

Corollaires. — Considérons en particulier le cas où nous n'avons qu'une seule fonction/de.r, jK, • • • continue dans E : I** si E est borné et parfait, F admettra un maximum et un minimum et les atteindra (25); a'' si E est d'un seul tenant, F contiendra toute la suite des nombres compris entre son maximum et son minimum (34).

Si au lieu d'une seule fonction continue nous en avons plusieurs y, y*,, . . ., la fonction

jouira des propriétés ci-dessus.

65. Soient M, (^, ... des fonctions des variables ^, y, ... en même nombre que ces dernières, et définies dans un ensemble E. A chaque point (.27, y, ...) de E correspond un point (t/, (^, ...); la réunion de ces derniers points forme un ensemble F.

Supposons qu'à chaque point de F corresponde réciproquement un seul point de E; on pourra considérer .27, JK, • • • comme des fonctions de w, (^, . . . définies dans l'ensemble F. Ce nouveau système de fonctions se nomme Y inverse du système de fonctions primitivement considéré.

Si V ensemble E est borné et parfait , et les fonctions M, V, ... continues dans E, ^, j^, ... seront réciproquement des fonctions de u^ (^, ... continues dans F.

Il nous faut prouver que, si l'on prend dans F une suite de points q^ = (u^,v^, ...), ..., q,t~(u„^ T;,, ...), ... convergeant vers un point -^ (lequel appartiendra à F), les points correspondants/?, =:(^<,j^,, ...), ..., p„z=(a:n,y,„ .••), ...

54 PRHMIÈRE PARTIE. CHAPITRE I.

convergeront nécessairement vers le point II c|iii correspond

Supposons qu'il en soit autrement; il existera un nombre £ tel qu'on puisse, quel que soit /?, trouver dans la suite /?„,.,, Pn+2-, ••• mi point /?a, dont l'écart à II soit >> £. Après celui-là on en pourra trouver un autre /?p, et ainsi de suite.

L'ensemble de ces points /;«, /-'p, •.., en nombre infini,

admettra au moins un point limite Q', dont l'écart à II sera

encore ^£. On pourra déterminer dans cette suite un point /?>

dont l'écart à II' soit moindre qu'un nombre donné ô, puis

un autre point /?j;, plus voisin de II' que p\ et dont l'écart à 11

soit <i -, et ainsi de suite.

Aux points p\^ yPjj,, . . . ainsi obtenus correspondent dans F les points q\^ q^^ . . . qui tendent vers y. Mais, à cause de la continuité des fonctions ii, r, .. ., ils doivent tendre vers le point x'de F qui correspond à W. Donc y =r y', et ce point unique correspond à deux points difierents II et II' de E, contrairement aux suppositions de l'énoncé.

66. Une fonction f(x, y, . . .) continue clcins un domaine E borné et parfait est intégrable.

On peut, en effet, quel que soit £, trouver une autre quantité positive r\ telle que l'on ait

si I /i |, I /: |, ... sont << yj. Si donc nous décomposons E en éléments e^ de diamètre <^t^^ l'oscillation O^ sera, dans chacun d'eux, << £• La condition d'intégrabilité sera donc satisfaite.