IV. — Fonctions continues

59. Soity(^,y, ...) une fonction des n variables .r, y, ... définie dans un ensemble E.

Soient (<2, b, . . .) un point déterminé de E; A, A", ... des quantités variables, assujetties à la seule condition que le point (a -h /i, è + A", . . .) appartienne aussi à E.

Si, pour toute valeur de la quantité positive £, on peut déterminer une autre quantité positive 6, telle que l'on ait

pour tous les systèmes de valeurs de A, A, ... pour lesquels on a

on dira que la fonction /(^, JK, • • •) est continue au point {a,b, ...).

La même idée peut s'exprimer sous cette forme plus abrégée :

La fonction fi^x^ y^...) est continue au point («, ^, . . .) si

/(a 4- A, h-^k, ...) ~f{a, b, ,..) tend vers zéro en même temps que h, A, ....

60. Soient y, y*!, ... des fonctions des variables œ, y, . . . définies dans E. Les divers systèmes de valeurs simultanées de ces fonctions correspondants aux divers points de E peuvent être considérés comme les points d'un autre ensemble F. Soit maintenant «(y, /,, . . .) une fonction des variables y, y*,, ... définie pour tout point de F. 11 est clair que ce peut être considérée comme une fonction âe x^ y^ . . . définie pour tous les points de E.

Une semblable expression se nomme une fonction de fonctions ou fonction composée.

Si les fonctions /", /,, ... sont continues au point (a, 6, . . .) et prennent en ce point des valeurs a, a<, ... ; si, de plus, la fonction ^ est continue au point (a, a,, . . .), cette expression, considérée comme fonction de x^ y^ . . . sera continue au point (a, 6, . . .").

En effet, pour être assuré que l'accroissement de cp ait son module << e, il suffit, par hypothèse, que les accroissements de f fi, ... aient leur module < 8 ; circonstance qui se produira, par hypothèse, toutes les fois que les modules des accroissements de x, y, . . . seront moindres qu'une autre quantité fixe /].

Les fonctions x -{- y, x — y, xy étant évidemment continues pour tout système de valeurs de x, y, on obtient ce corollaire que la somme, la différence et le produit de deux fonctions continues sont continus.