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leurs, en remplaçant s'" par une autre détermination e '" z"^

du même radical, S(w, z) ne change pas, et les facteurs u — U, u — Ui, ... se permutent entre eux. Donc

{u — U)...(w — ^m-\) d'une part, et $ d'autre part, ne

i contiendront que des puissances de z"^ dont l'ordre est multiple de /w; ce seront donc des séries de puissances entières de u et de z.

Nous dirons que les développements U, U,, ..., \jm-\^ qui se déduisent l'un de l'autre en changeant la détermination

du radical z"\ forment un cycle de racines de l'équation S (m, z)=^o. Ces racines se permutent circulairement les unes dans les autres si z décrit un contour fermé autour de l'origine. Le nombre v sera V ordre de multiplicité des racines du cycle.

Si n^my, il y aura d'autres racines. Soient U' l'une d'elles, m'j v' les nombres analogues à /n, v qui lui correspondent. Un raisonnement tout semblable au précédent montre que <P peut se mettre sous la forme

Continuant ainsi, on mettra finalement S{u, z) sous la forme

W désignant une nouvelle série, qui ne s'annule pas pour

369. Soit u une fonction de z définie par l'équation Zo W" -\- Zi u^-'^ -i- . . . H- Z„ = G,

les Z étant des séries de puissances entières et positives de z convergentes aux environs du point z = o. Les n racines de cette équation seront représentées aux environs de ce point par des séries convergentes, procédant chacune suivant les

puissances entières et croissantes de z""^ m étant un entier ^n. Toutefois, si les i premiers coefficients Zq, ..., Z/,

contiennent z en facteur, i de ces développements contiendront au début des puissances négatives.

En effet, en posant s = o, on aura, pour déterminer les valeurs correspondantes de m, une équation de degré n — i. Soient a l'une de ses racines, a son ordre de multiplicité. Posons ii=z a -\- u^. L'équation transformée en u^ aura, pour 3 =: o, a racines nulles, et d'après l'analyse précédente, pour z infiniment petit, a racines infiniment petites, dont chacune sera développable suivant les puissances positives et crois-

J santés de 2'", m étant ^ a.

Pour développer les i autres racines, qui cessent d'exister pour ^ =1= o, posons u ^= -y^^ z"^ étant la plus haute puissance de z qui divise Zq. L'équation transformée

^-^Zo u'I -hzZ, u'I-' -4- z'^^^^Z^ u'[-' -h ... — o

aura n racines nulles pour ^ = o, et pour z infiniment petit

n racines infiniment petites, développables suivant les puis-

sances entières et positives de z"^ . En les divisant par ^^+% on aura les valeurs correspondantes de a ; ceux de ces n développements qui commencent par des exposants négatifs donneront les racines cherchées.

370. Tous les raisonnements ci-dessus subsistent si les coefficients Z ne sont plus des séries infinies, mais des polynômes en z. Dans ce cas, a sera une fonction algébrique de^.

Si d'ailleurs on pose 5 ==: a H- i^i, a désignant une constante, ou 5 = — j u sera une fonction algébrique de ^i . Les

racines de l'équation en u seront donc développables suivant les puissances croissantes (en général fractionnaires) de

z — a ou de •

37L J^a théorie précédente est susceptible de nombreuses

applications. Nous nous bornerons pour le moment à la suivante :

i" Soient

/(^,/) = M/'«H-Mi7-. + ...r=o,

deux équations algébriques. On demande de former V équation finale en x résultant de V élimination de y entre ces équations.

Soient jKi, y-2i • • • , y m les valeurs de y en x^ déduites de la première équation, y],, ..., tj,^ les valeurs déduites de la seconde. La variable x^ devant évidemment être choisie de telle sorte que l'une des valeurs jk,, /o, . . . , y„i soit égale à l'une des valeurs r^, . . . , Tj„, satisfera à l'équation

(9) (./i— ^i)---(7i — '^«)(,r2— Y)i).. .(72— •n«)---(7m—-0i )...(/,„ — r]«)=o. Or on a d'une part

N(y,„--rî,)...(rm--o«) = ?(^,y,n) = Nj'^H-N,77,. + ...,

et d'autre part

M (/, — mi ) (72 — -^1 ) • • . (y m — V)l )

L'équation (9) pourra donc se mettre sous les deux formes suivantes :

/ j \nin

^in /(■3?,r)i).../(^,Y3n) =0.

Multipliant par N'^^M" pour chasser les dénominateurs, il

viendra

(ro) o = M"9(^,y,)-..9(^,/,«)=i: -i)'""N-/(^,YîO...A'r,y)«).

On voit, par cette double forme donnée au premier membre de l'équation finale (10), que son premier membre est une fonction entière, d'une part par rapport aux coefficients N, N,, ... de la fonction -p, d'autre part par rapport aux coefficients M, M<, ... de la fonction /. C'est donc un polynôme entier en :c.

Pour obtenir sous forme explicite le premier membre de cette équation, il suffira de calculer son développement suivant les puissances descendantes de .r, par les règles qui ont été exposées. Pour cela, on calculera d'abord les développements des racines jKi, •• , y m-, puis ceux des fonctions entières M", cp(^, 7,), ..., '^{x^ Ym)^ et enfin celui de leur produit. Gomme d'ailleurs on sait d'avance que ce produit est un polynôme entier en œ^ on arrêtera le développement aux termes de degré zéro.

Ce procédé de formation de l'équation finale serait assez compliqué, mais il permet de reconnaître facilement son degré. Il suffira pour cela de calculer le premier terme de l'équation.

On peut reconnaître, par un procédé analogue, si l'équation finale a une racine nulle, et assigner son degré de multiplicité. Il faudra pour cela chercher le premier terme du développement de son premier membre suivant les puissances croissantes de x.