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y satisfait identiquement. En effet, le résultat de la substitution de U dans l'un des premiers membres sera une série convergente procédant suivant les puissances entières et po-

sitives de z'"\ mais cette série contient en facteur commun z avec une puissance au moins égale à

et cela quel que soit i. Or les quantités [i,,, ^^^ ... sont

des multiples de — dont chacun est plus grand que le précédent. Donc pi/i croît indéfiniment avec i. Toutes les puis-

sances de z"", quel que soit leur degré, disparaîtront donc de la série, qui devra se réduire identiquement à zéro.

368. Soit U un des développements dont l'existence vient d'être établie, et qui satisfont à S(;^, s) = o. Posons

S(U-|-(^, z) sera une série de puissances entières de s'" et de v^ qui s'annule pour (^ = o et qui, par suite, contient ç en facteur. Donc, en remettant pour ç sa valeur u — U, et

remarquant que U est une série de puissances de z'" ^ il viendra

T désignant une nouvelle série de puissances.

Si V est ^i, on sait en outre que U doit satisfaire aux

Or, pour u = U, y- se réduit à Tl^U, z'"). Donc T, s'annulant pour w = U, pourra être mis sous la forme

T^ désignant une autre série de puissances. On aura donc

L'équation -r-ir ^^ o montre de même que T, contient u — U en facteur et ainsi de suite : donc S(w, z) pourra se mettre

sous la forme

(7) S{u,z) = iu-UyT{u,z^).

Si m >> F , z admet m racines m''""^* distinctes; ^'" désignant l'une d'elles, elles auront pour forme générale

e "^ z'"^ où r prend les valeurs o, i, ..., m — i. En substituant successivement ces racines dans U, on obtiendra une suite de développements U<, ..., Um-\ tous différents les uns des autres. Cela posé, changeons dans Fidentité (n)

L "iZEi ^

z"" en e '" z'". Le premier membre restant inaltéré, il viendra

/ 2 ni i\

^{u,z) = {u-l\yT(u,e'" z'-J.

Donc

(8) {u— [J^T{u,z'^) = {u — ViyTyu,e

Le second membre s'annulant pour uz=.\]^^ il en est de même du premier; mais \] ^ — U n'est pas nul. Donc

T\w, 2"7 s'annule pour w = U], et pourra être mis sous la

forme {a — \} ,)T ,\ii, z'"").

Substituant cette valeur de T dans l'identité (8) et supprimant le facteur a — U, commun aux deux membres, on voit que, si V > I , T< s'annulera encore pour ^^ = U, et pourra être mis sous la forme {u — L,)T2. Continuant ainsi, on voit que S (m, z) peut être mis sous la forme

{a — \}y{u~V,y(è\ii,z'^).

Par une suite de raisonnements semblables, on voit que S(w, z) peut être mis sous la forme

o étant une nouvelle série de puissances de u et z"^. D'ail-