Posons z ^= -^ dans la formule (i), il viendra

d'où

formule découverte par Wallis.

375. Pour obtenir l'expression de costû^ par un produit infini, le plus simple est de partir de la formule

2TIZ I I I iH ]e

costt:; = : = ^

2 siiit:^ w-w- / z

2 TT 3 I I IH ]e

Supprimant les facteurs communs, qui correspondent aux valeurs paires données à n dans le numérateur, il vient

(3) COSTT^ ^^11

A chaque valeur négative n' de l'indice de sommation correspond une autre valeur /i, positive ou nulle, telle qu'on ait

Faisant le produit des deux facteurs associés correspondant à ces deux valeurs n et n' ^ il vient

cos,:.=f[[,-^^^^].

376. Prenons la dérivée logarithmique de la formule (2); il viendra

la somme s'étendant à toutes les valeurs entières de /i, zéro excepté.

Développons chaque terme suivant les puissances croissantes de ^ ; il viendra

TTCOtTÏ^ =: >—;> + > -ô — 7 ^+-..