SO
Mais on a, d'autre part,
TTCOlTT^ = n— == TTf —
sin T.z e^
I 9.T:f'z ^SiTTS i
B^, B2, .. . désignant les nombres bernoulliens (269).
Egalant les coefficients des mêmes puissances de z dans ces développements, il viendra
'1.2 jLkn
r,2w— 1 —Im ^ j
.1. . .irn ^^ II-
377. On peut mettre aisément en évidence sur les formules qui précèdent la périodicité des fonctions trigonométriques.
Considérons par exemple le développement (4) de cotTiG.
Ajoutons ensemble les termes qui correspondent à deux valeurs égales et contraires de n ; il viendra
7r COtTT^ == - -h 7 ( \ )
= - -h lim V ( — î \ ^
Changeons z en z + \ . La somme précédente se repro-
diiira, accrue de la quantité
qui tend vers zéro pour IN = oo. Donc cotTc^ a la période 378. Pour le sinus, nous aurons
siriTT-S = Tiz lim I 1
N = oo -■--■-
TT iim
Si l'on change ^ en s 4- i , ce dernier produit se reproduira
multiplié par ^^-- tj — ? facteur qui tend vers — i quand N
tend vers oo. Donc
sin7r(-s -h i) = — siriTT^, et sirni^ admet 2 pour période.
379. Série hypergéoméïrique. — Considérons la série hyper géométrique
Cette expression est symétrique en a et p. Elle se réduira à un polynôme entier si a ou ^ est entier et négatif; car tous ses termes, à partir d'un certain rang, s'annuleront. Elle n'a d'ailleurs aucun sens si y est entier et négatif, car ses termes deviendraient infinis à partir d'un certain rang.
Excluons donc le cas où l'un des paramètres a, p, y serait entier et négatif; nous obtiendrons une série infinie dont nous allons étudier tout d'abord la convergence.
Soit Un le terme général; on aura
Un __ (i+ /Q (y 4- /i) i
Un+x "" (a + /0([3 + /0 -2^'
expression qui tend vers - quand n augmente indéfiniment.
La série sera donc absolument convergente si | jî; | << i .
Soit enfin | ^ | = i . Admettons, pour plus de généralité, que a, j^, y soient complexes, et posons a = a'-|-a''«, P = (5'H- ^"i. Y =z y' + y'^-. On aura
ha')^-Ha''^][(/i + [3')2-h(3"2]
J -a série des modules sera donc convergente, et la série F(a, [3, y, x) absolument convergente, si y' — a' — [S'>o. Au contraire, si y' — a' — ^ji'^o, la série des modules sera divergente.
380. On peut former aisément une équation différentielle à laquelle satisfasse la série F(a, ^, y, x). En effet, considérons l'expression
<^= AF 4- B^F'-h C.372F"4- DF'4- E^F",
où A, B, G, D, E sont des constantes arbitraires. Le terme en x" aura pour coefficient
A(y4-Ai)-t-B/i(y-i-Ai) -hG/i(/i — i)(y-f-/i) -h D(a -h /i) ((i -4- /i) -h E/i(a -t- /i ) ((3 -f- n)
en posant, pour abréger,
a(a-f-t)...(a-4-n — i)|3((3 + i)...((3-hAi — I) i ^ ~ 1 . 2 . . . /i y ( y -h 1 ) . . . ( y -h /i ~ I ) y -\- n
La quantité qui multiplie q est un polynôme en n du troisième degré, et l'on pourra évidemment disposer des rapports des cinq constantes A, B, C, D, E, de manière à annuler ses quatre coefficients; on aura alors identiquement
On trouvera ainsi
(6) (^^^)F"H-[y-(a4-(3-+-i)^]F'— apF = o.
381. En faisant varier les paramètres a, ^, y de la série F, on obtiendra une infinité de fonctions distinctes. Deux de ces fonctions seront dites con ligues si deux de leurs paramètres ont la même valeur, leurs troisièmes paramètres différant d'une unité.
Thi^orème. — La fonction F et deux quelconques de ses contiguës sont liées par une équation linéaire ayant pour coefficients des polynômes du premier degré en x.
La fonction F ayant six contiguës différentes, on aura ainsi = i5 équations différentes. Nous allons indiquer comment on peut les établir.
Considérons, par exemple, les trois fonctions
que nous représenterons, pour abréger, par
Soit N le coefficient de x'^ dans F; formons son coefficient dans les fonctions F, ^F, F i, ^'F,, F<, ^F,. On trouvera
immédiatement les valeurs suivantes :
Pour F. ... N
Fi N-^^
y -\- n ( a -f- /i — I ) ( [3 4- Ai — I )
On en déduit immédiatement que le coefficient de x" dans l'expression
(A.4-B^)F + (C + Dop)F, + E^Fi
sera éeral au produit de —-7^ par une fonc-
tion entière du troisième degré en n. On pourra déterminer les rapports des constantes A, B, G, D, E de manière à annuler cette fonction. On trouvera ainsi
Les quatorze autres équations peuvent s'obtenir par un procédé identique. On simplifiera les calculs, soit en permutant les paramètres a et ^ par rapport auxquels F est symétrique, soit en profitant des équations déjà trouvées pour en obtenir d'autres, par l'élimination d'une des fonctions qui j figurent.
Trois fonctions
F(«,(3,y,.r), F(a',(3',/,^-), F(a", p'', y", ^), dont les paramètres diffèrent de nombres entiers, sont liées
par une équation linéaire, dont les coefficients sont des polynômes en x. En effet, ces trois fonctions se rattachent les unes aux autres par une suite de fonctions continues. Formant les relations qui existent entre ces fonctions, et éliminant les fonctions intermédiaires, on obtiendra l'équation cKerchée.
382. Il est intéressant de déterminer la valeur de la fonction F(a, p, V, x) pour ^ = I , lorsque cette série est convergente.
Posons X = I dans l'équation ('])', il viendra
d'où
Changeant, dans cette équation, yen y-f-i ,y + 2, ,..,y -\-n — i et multipliant ensemble les équations obtenues, il viendra
y(y -f-i)...(y-t- Ai — 1) (y a — (3). . .(y — a — (3 -h /? — i)
^II(/i,y)n(/^,y-a-(3) Il{n,y-a)Il{n,y-?>y
en posant, comme au n° 325,
(8) Jl{n,z) =
Faisons tendre n vers 00; F(a, ji, y -1- /i, i) tendra évidemment vers l'unité; on aura donc, en posant encore
(9) jimn(«,2) = r(3),
383. Fonction F, — La fonction r(s), définie par les équation«i (%) et (9), jouit de propriétés nombreuses et importantes. JNous allons en établir quelques-unes.
On a évidemment
n(/z, .3 -hi) = -^ — ii(/i, s),
d'où, en posant /? = 00,
et par suite, k étant un entier positif quelconque,
On a d'ailleurs, identiquement, d'où
et, par suite,
