Formons encore le produit

m"^=n(Az, ^)n(/?,,^4- — y. .n(/i,^

II(m/i, mz) On-vérifie aisément qu'il a pour valeur

m'""[i .2. . (a?. — i)]'"Ai~ 1 .2. . .{mn — i)

quantité indépendante de z.

On aura donc, en posant n = ce

limAr=: G.

Y{mz)

G désignant une constante indépendante de z. Pour la déterminer, posons z := — 11 viendra

rfi-V..r('^i^)=c.

V m / \ ni

Multiplions cette équation par elle-même, en renversant Tordre des termes du premier membre. 11 viendra, en tenant compte de l'équation (i i),

. 71 . 2 TT , ( A/i — I ) TT

siii — sin — sin —

ni m m

Or on a

Posons ^ = I + A, et égalons les termes du premier degré en h dans les deux membres; il viendra

2//?. =r 2| 2 SIU

r . (m — r)7rT

2 Sin

L itn \

Posant ^ = — I + A, on trouverait de même

2 m = 22 ces

71 \- r (m — i)7tP

im [ 2m j

Multiplions ces deux égalités et extrayons la racine carrée; il viendra

m =: 0.^^-^ sin — ... sin •

et, par suite,

rn-J- 1

C = (27r) - ml

VIL — Fractions continues.

386. Soit i\ une quantité réelle et positive quelconque; on pourra évidemment poser

ao étant un entier, et A< une quantité >> i . On pourra poser de même

«1 étant un entier au moins égal à i, et Ao une quantité >► i . Continuant ainsi, on obtiendra pour A un développement en. fraction continue, tel que

Ce développement sera évidemment limité si A est commensurable, illimité dans le cas contraire.

On nomme réduites de la fraction continue les fractions

Pq Uq Pi I <7„a, 4- I

Qo I Qi «1 (t\

V^ I ao<2, «2+ '^'+ ^0