Théorème. — On a généralement

Cette formule est vérifiée pour n=^ i par les valeurs cidessus de P2 et de Q2. Nous allons d'ailleurs montrer que, si elle est vraie pour un nombre n^ elle le sera pour n H- i :

En effet, ^r^ se déduit de -^ par le changement de an.

en a,i-\ • On aura donc

On voit par les formules (i) que les quantités Q^ croissent au delà de toute limite quand n augmente. En effet, a« étant au moins égal à i , on aura

Qn> Qn-i + Q/i— 2> Qw— 2+ Qra-3+ Q«— 2> "^Qn—^-

On déduit encore des formules (i) la relation

et, comme Pi Qo — Po Qi = i , on aura

(2) P„Q.-i-P„-iQ«=(-i)«-^

On voit par là que P„ etQ^ n'ont aucun diviseur commun. Les réduites sont donc des fractions irréductibles. On a enfin

n^ P» P.-i P.(j.-i- P.-iQ.^ (- 0"-^