Les quantités "Y^ convergent vers A. En effet, si dans

l'identité (3), qui peut s'écrire ainsi

an e en A, il viendra

on change an en an-\- v ? jy étant évidemment change

Les quantités Q croissant indéfiniment quand n augmente,

cette différence décroîtra indéfiniment. D'ailleurs, étant

compris entre o et i, cette différence sera comprise entre les deux limites suivantes :

Changeant ai en ai + i , on trouvera de même que A — -y^

est compris entre

(— ,Vi (— 0"

Ces deux quantités sont de signe contraire aux précédentes et moindres en valeur absolue; car on a

d'où

Donc A est compris entre deux réduites consécutives quelconques et plus rapproché de la dernière.

P i 389. Une réduite quelconque — p est plus rapprochée

de A qu'une fractio/i quelconque ^^^^ ont le dénominateur est moindre que Q„.

Supposons, en effet, que -^ soit plus voisin de A que -~)

-r- tombera nécessairement entre ,,""" et-T^^* On aura donc

ou

(in^^()n

Mais PQ«i — P/i i Q est un entier qui ne peut s'annuler;

car on aurait

et cette fraction est moins approchée de A que j^- On aura

donc

|PQ.-i-P.-iQ|^i,

et l'inégalité ne pourra avoir lieu que si

contrairement à l'hypothèse faite.

390. Considérons maintenant une fonction A développable en série suivant les puissances entières et décroissantes d'une variable x. On pourra poser

A = ao-i- — + ^ -h..., X X-

«0 désignant un polynôme en x^ et a, , ag, . . . des constantes. * Posons

Si ajj^ est le premier coefficient qui ne s'annule pas, A< deviendra infini d'ordre a< avec x. En le développant suivant

les puissances décroissantes de x^ il viendra donc

Ai = ai-h '^- -h ^ 4-..., X x^

ai étant un polynôme de degré pi,.

Posons de même

on en déduira

«2 étant un polynôme en x du premier degré au moins. Continuant ainsi, on obtiendra un développement

limité si A est une fraction rationnelle, illimité dans le cas contraire; «<, «2, ... étant des polynômes dont les degrés en x^ que nous désignerons par [x,, ul2, . . ., sont au moins égaux à l'unité.

Considérons les réduites

Po

Pi 1 rr,rr,~^i

Qo~

Qi "" ' «1 a, '

Les relations (i) subsisteront avec toutes leurs conséquences.

On en déduit tout d'abord que le degré w^ du polynôme Q,/ est égal à [i.< 4- uia H- . . . + |ji//.

La relation (2) montre ensuite que la fraction algép brique ■—• est irréductible.

On voit enfin, par la relation (4), que la difterence p A — "~^ est d'ordre — y,i-i — ^n par rapport à x. Car (),/i V«— 1

est d'ordre v„, , et Q„ + -r— Q«, est évidemment d'ordre v,i, comme son premier terme Q«.

D'ailleurs, v„>v„,; donc l'ordre de A — ^' ' sera

fi-i •