Nous allons démontrer que, réciproquemenl, toute

fraction-^ telle que la différence A — y=- soit d'ordre < — 2 v^

V étant le degré du dénominateur Q, est nécessairement égale à l'une des réduites précédentes.

En effet, considérons la série des nombres v,, Vo, ...; soit v„, le dernier nombre de cette suite qui ne surpasse pas V. On aura, par hypothèse,

en désignant, pour abréger, par 1 ^^^^ j une expression

d'ordre — (2V -f- i) au plus par rapport à ^. On a, d'autre part,

d'où

P.-i 1: P.-.Q-PQ.-1 / I

Or on a

Donc le second membre de l'égalité précédente sera d'ordre inférieur à — (v-hv,i,). Donc il doit en être de même du premier. Mais le dénominateur Q«, Q est d'ordre v -f- v„,. Donc le numérateur doit être d'ordre <i o. Mais c'est un polynôme, et son ordre ne peut être << o que s'il s'annule identiquement.

SyS PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE III.

On aura donc

P„,Q-PQ„,=:o,

d'où

et, par suite,

k étant un poljnome d'ordre v — v«,.

p On voit par là que ^ ne sera irréductible que si v == V/i.,,

auquel cas le facteur k se réduit à une constante.