V. — Fonctions à variation bornée

67. Soity=/(^) une fonction d'une seule variable x^ bornée dans un intervalle ab qui contienne les valeurs particulières Xq et X>>Xo- Donnons à x une suite de valeurs

VARTABLES RÉELLES. 55

croissantes ^To, .r,, . . ., ^,^^, X, et soient Jo^J^m ..., JK«), Y les valeurs correspondantes de y. On aura

p désignant la somme des termes positifs, n celle des termes négatifs de la somme ci-dessus.

Nous dirons que p est la variation positive de y et n sa variation négative pour le système de valeurs ^(,, :r, , . . ., X. La somme

(2 ) ^ ==2 l/A— JA-I I =/^ + 'i

sera sa variation totale.

En changeant le nombre et la position des valeurs intermédiaires Xi, ..., x,i i, on pourra faire varier ces trois sommes. En particulier, si entre ^a i et ^a on intercale une nouvelle valeur H, ces sommes conserveront leur valeur primitive, si /(^) est compris entre jr^- , et j^^; sinon />> et n seront accrus tous deux de la dilî'érence entre /( 5) et celle des quantités jka-1 5 J^A dont elle est la plus voisine, et t sera accru du double de cette différence.

Cela posé, admettons qu'un des trois systèmes de sommes />, n, t admette un maximum. 11 en sera de même de chacun des deux autres, en vertu des équations (i) et (2). On dira, dans ce cas, que y est une fonction à variation bornée entre .Vq et X.

68. Les fonctions à variation bornée, telles qu'elles viennent d'être définies, ont pour caractère spécifique de pouvoir être mises sous la forme

z et a étant des fonctions positives, bornées et non décroissantes entre x^ et X.

Pour le démontrer, considérons deux valeurs quelconques x' , x" dans l'intervalle de :ro à X [x" étant supposé compris entre x' et X).

56 PREMIÈRK PARTIR. — CHAPITRE l.

Soient

y' •) y les valeurs coirespondanles àa y]

p\ /i', t' les variations de y dans l'intervalle Xqx' pour un choix quelconque de valeurs intermédiaires jr,, ^25 • • • 5

/>", /i", /" les variations de y dans T intervalle Xqx" en prenant pour valeurs intermédiaires x^^ x.,-i . . .^ x' et d'autres valeurs quelconques x\^ ... intercalées entre x' et x" ]

/?, /i, ^ les variations dey dans l'intervalle total ^o^< en prenant pour valeurs intermédiaires :r,, . . ., x', x\^ . . ., x" ,

On aura évidemment

Mais, par hypothèse, p, n, t admettent des maxima P, N, T. Donc, p', n', t' et p'\ n"^ t" admettent aussi des maxima P', N', T', P", N% T\ et l'on aura les inégalités

desquelles il résulte que P', N', T' sont des fonctions de x'y positives de leur nature et, en outre, bornées et non décroissantes de Xq à X.

Gela posé, en faisant varier le nombre et la position des valeurs intermédiaires ^r,, x.y, ..., on peut faire en sorte que p' se rapproche indéfiniment de son maximum P'. La différence p' — n' étant constante, n' se rapprochera en même temps que son maximum IN'. L'équation

r' — yo=p' — n' deviendra donc à la limite

ce qui montre que y' est la diflerence des deux fonctions positives, bornées et non décroissantes

P'-h7o-+-c et N'+c,

e désignant une constante positive quelconque >> — yQ.

Réciproquement, si y = z — u, z et u étant des fonctions positives, bornées et non décroissantes entre Xq et X, sa variation totale t sera limitée; car on a, en désignant par Zq, Zi, ..., Z et if(^, iii, ..., U les \aleurs de z et de a pour

69. Soienty = z — w, j ' = 5' — ^^' deux fonctions à variation bornée ; leur somme

leur différence

et leur produit

zz' -^ au' — {u z' ~>r z a')

seront évidemment des fonctions de même nature.

Enfin, si y a une variation bornée, et si, de plus, son

module a un minimum a différent de zéro, — aura une varia-

tion bornée.

En effet, sa variation totale

reste toujours inférieure à un nombre fixe.

70. Une fonction f{x) à variation bornée dans un intervalle ab est inlégrable dans cet intervalle.

On a

o{x) et ^(x) étant [des fonctions croissantes et bornées. Il suffit donc de montrer qu'une semblable fonction <f{x) est intégrable.

Décomposons le champ ab en éléments e^; soit Oa l'oscil-

58 PREMIÈRE PÀHTIE. — CHAPITRE I.

lation de la fonction dans ek\ on aura

e désignant le plus long des intervalles Ck-

Or, ^{x) étant constamment croissante de a à b^ / ,^k représentera évidemment son accroissement total

Cette quantité est une constante; d'autre part, si les éléments Ck décroissent indéfiniment, e tend vers zéro; donc

lim \ Oa^a= o, et '^{oc) est intégrable.

71. Soient /'(.r) = 'S)(x) — 'j'(^) une fonction à variation bornée et h un infiniment petit positif. Les fonctions '^{x) et '^j{x) étant non décroissantes, '^[x — li) et 'h[x — //,) varieront toujours dans le même sens quand h décroit, sans jamais surpasser les valeurs fixes co(.r) et '}(^). Elles tendront donc vers une limite, et leur différence f{x — k) tendra aussi vers une limite, que nous représenterons par/(.r — o).

On voit de même (\v\e f{x -^ h) tend vers une limite, qu'on peut représenter pary(jp -h o).

72. Vue fonction f{x)^ continue et à variation bornée dans V intervalle de Xq à X, est la différence de deux fonctions continues et non décroissantes.

En elfet, f{x) ayant une variation bornée, on aura

'f(x) et 'h(x) étant des fonctions non décroissantes à variation bornée.

Considérons, en particulier, la fonction (d(x). Pour ufte valeur de x, intermédiaire entre Xq et X, on aura

cp(.r — £) ;^cp (^) = 9(.r -}-£).

VAHIABLES RÉELLES. Sg

Si £ tend vers zéro, cp(^ — s), o(x + s), qui varient toujours dans le même sens, tendront vers des limites déterminées o(œ — o) et o(j? + o), et l'on aura encore

Si la différence ©(^ + o) — -^(x — o) est égale à zéro, la fonction o sera continue au point x] sinon, cette différence sera positive, et nous dirons que la fonction présente en ce point une discontinuité é^dXe à cette différence.

Cette discontinuité peut d'ailleurs se séparer en deux parties : la discontinuité antérieure ^{oc) — ^{x — o) et la discontinuité postérieure ^{x -{- o) — 'f(-2?).

La fonction 'f (^) n'étant pas définie pour les valeurs de la variable <C Xq ou >> X, nous n'aurons à considérer, pour x:=^Xq^ qu'une discontinuité postérieure; pour ^ = X, qu'une discontinuité antérieure.

Soient maintenant a, x deux valeurs quelconques de la variable; Xy^ ..., Xn une série de valeurs intermédiaires entre celles-là. Formons la somme des discontinuités

que nous désignerons par

S(fl', c/'i, . ..,œ).

Cette somme est au moins égale à c5(a-|-o) — 'f(^); mais nous allons voir, d'autre part, qu'elle ne peut surpasser

Soit, en effet, ?^ un point quelconque intermédiaire entre xi( et Xffj^y ; la fonction C5 étant non décroissante, on aura

Soient de même ^o et \n des points respectivement intermé-

6o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

dialres entre a et x^ et entre Xn et x^ on aura

9(rt-|-o) =©(^J =cp(.r,o),

On aura, par suite,

S(a, j:'i, . . ., cT-)

Cette somme restant ainsi inférieure à une limite fixe, quels que soient le nombre et la position des points de division ^,, ..., Xai admettra un maximum S(«, x\ que nous appellerons la discontinuité totale de la fonction dans l'intervalle de a à ^. Ce maximum sera compris entre cp(a + o) — ^(^) et cp(.r) — o(a).

D'ailleurs, on a évidemment, d'après la définition des sommes S,

S(a, ^,, ..,,x) — S(«, xu . . ., ^A-) -H S(^A., . . ., ^);

d'où, en supposant que Xk conserve une valeur constante h et passant à la limite,

On voit par là que la fonction S(.ro, x) est une fonction de x non décroissante de Xq à X.

Posons maintenant

cp(^) = 9,(^) -h S(^'o,^-)-

La nouvelle fonction 'fi(^) sera continue et non décroissante.

On a, en effet, h étant positif,

VARIABLES RÉELLES. 6l

Cette quantité ne peut être négative, car S[x^x-\- li) est au plus égal à cp(^ -f- li) — ^(^).

D'ailleurs elle tend vers zéro avec A; car, S(^, ^H- h) étant au moins égal à o(^ -f- o) — »(^)j elle ne saurait être supérieure à o[x -{- h) — (p(jc-|-o), qui tend vers zéro avec h.

La fonction non décroissante ^{oc) admet en chaque point la même discontinuité que '^{x)^ puisque leur dilî'érence '^{x) — '\{^) est supposée continue. Donc, dans tout intervalle, ^{oc) aura la même discontinuité totale que '^{x)^ de telle sorte que, en répétant les raisonnements précédents, on

aura

^{x)-=i'h^{x) -^S{xq,x),

^\{x) étant une fonction continue et non décroissante et S(:ro, oo) représentant la même fonction que tout à l'heure. On aura donc

ce qu'il fallait démontrer.

VI. — Dérivées et intégrales des fonctions d'une seule variable.

73. Soit/(^) une fonction d'une variable x^ définie dans l'intérieur d'un domaine D.

Soient Xq un point fixe intérieur à D ; o son écart de la frontière de D ; tout point Xq-\- h où | A | <; S sera encore intérieur à D.

Si l'expression

tend vers une limite fixe lorsque li tend vers zéro, cette limite s'app«llera la dérivée de f(x) au point a;» et se représentera par/(.ro).

Si, pour tous les points intérieurs à D, /(x) admet une

62 TREYIIÈRE PARTIE. — CHAIMÏRE I,

dérivée, l'enseiiible de ces valeurs constituera une nou\elle fonction, égalejnent définie à l'intérieur de D, qu'on nomme la dérivée de /{^) et qu'on représentera, avec Lagrange, pary''(.r), ou, avec Cauchy, ])ar Y) f(x).

Toute /onction qui a une dérivée est continue.

En efï'et, l'égalité