TT ^F (^F

et, dans la seconde, par les équations

Fi = o, — -1 4- — — y' = o, ....

Les valeurs de ces quantités devant, comme on vient de le voir, être les mêmes dans les deuxcourbes, on n'aura qu'à les égaler pour obtenir les équations de condition cherchées.

423. Contact d'une surface S avec une courbe Ci. — Soient F(^,y, 2) = o l'équation de S; ^, y, z les coordonnées du point P; ^, , y, , s, celles de Q, ; x^-\- a, y^ -\- p, s,+y celles de Q. On aura

G = F ( ^1 -h a, Yx H- (3, ^1 4- y ) — F(^i, ji, 5i) -+- Aa-h Bj3 -h Gy;

A, b, L- tendent vers -r— ? -— ? -r^ lorsque x^^ y^^ z^^ a, p, y

tendent vers x^ y, 5, o, o, o.

S'il y a contact d'ordre /i, a, j^, y et, par suite, F(^,,jri, z^) seront d'ordre n -\- i ^n moins. Réciproquement, supposons queF(^<, JK^ , z^) soitd'ordre /i -1- i ; ilyaura contact d'ordre ai. En effet, pour x^=^x^ y^=y^ Zi = z, a^j^ = y = o, la fonction F{Xi -j- a, y, + [3, Zx -\- y) s'annule et ses dérivées partielles, par rapport à a, [3, y, se réduisent à

dF âF dF T • n • 1 T^

— — ) -r— 5 — — . Le point F étant simple sur F, une au moins ôx O)- ôz ^ ^ '

ôF de ces dernières quantités, telle que —5 sera^o. L'équation (4) définira donc a en fonction implicite de Xf, yt, ^i,

Associons à Q, le point Q = (x^ 4- a,j)/< -f- ^, ^^ -|- y),

P, y étant deux infiniment petits quelconques d'ordre /i + i :

¥{x^,yi, z-i) -h B^ -^ Cy j ^ j

a = i^^ ■ '- sera du même ordre au moins,

car A, tendant vers -— > n'est pas infîniiuent petit. Donc ax ' ^

I a I + I [3 I -|- I y I sera d'ordre /i + i .

Donc, ici encore, la condition nécessaire et suffisante pour le contact est que F(x^^y^, z^) soit d'ordre n -{- i.

424. Gela posé, soient x= o(t), y =z cp, (^), z = ^2{l) 'es équations de la courbe G,.

Soient t^ t -\- dt les valeurs du paramètre aux points P et Qi; on aura

Xi — ^ = œ dt -h x' h- . . . ,

yi-y=^y dt-\-y"—-^...,

Z^ — -v A> (XL -\- -V -f- ....

Donc Xi — x^ y^ — y^ z^ — z seront du premier ordre au moins en dt^ et l'un d'eux sera effectivement du premier ordre, car, le point P étant simple sur Gi, x' ^ y' ^ z' ne s'annulent pas à la fois. Donc [PQi ] est de l'ordre de dt.

D'autre part, en posant

F[9(0,9i(0,?2(^)]-W(0, on aura

¥{x,,y„Z,)-:r:^W{t-^dt)r=iW{t)^W'{t)dt^....

Les conditions du contact seront donc