Si G, était définie comme intersection des surfaces

<i>{x,y,z) — o, Oi(^, /, ^) — o,

il faudrait, pour appliquer ces formules, concevoir qu'on prenne x^= t; y ei z seraient alors des fonctions implicites de ce paramètre, définies par les équations <ï> = o, ^, = o. On calculera alors par les méthodes connues, pour les égaler à zéro, les dérivées successives de la fonction

W{t)--^W{x)=.F{x,y,z) par rapport à la variable indépendante x.

426. Contact de deux courbes gauches (^ et C^. — Soient F(^,j', 3) = o, .f (^, jk, 5) = o les équations de C; {x,y,z), {x,,y,,z,), (x, + a,j,+ p, s, + y) les coordonnées des points P, Qi, Q; on aura

o=:F(^iH-a, ji + [3, ^,-l-y)

— §{x^, ji, z^) -\- Xa -f-iJb(3 + Gy.

S'il y a contact d'ordre /z, a, p, y et, par suite, ¥{x^^y^^z^)^ ê{x^^ y^^ Zy) seront d'ordre n + i au moins. Réciproquement, supposons que

F(^i,/i,-i) et §{x,,y,,z,)

soient d'ordre Ji -\- \ .

Pour ^, = .r, y, = j , ^, = 5, a ^ p =: y 1= o les fonctions

s'annulent, et leurs dérivées partielles, par rapport à a, j3, y,

se réduisent à

ô^ iW^ d¥^ dx dy dz

dj dl dl^ dx ôy ôz

Le point P étant simple sur C, l'un des trois déterminants

, , ., . , , d¥d^^ d^ôF .

formes avec ces dérivées, par exemple -r — r — —5 sera^o.

' ^ ^ ôxoy oxôy ^

Les équations (5) détermineront donc a, ^ en fonction implicite de ^4 , jKi 5 ^M y-

Associons à Q, le point Q obtenu en prenant pour y un infiniment petit quelconque d'ordre /i + i ; a et [^ seront du même ordre au moins; car la résolution des équations (5) les donne sous forme de fractions, dont le numérateur est d'ordre /i + i, tandis que le dénominateur A.i)b — Bx, ayant

pour limite

dx ây doc ôy

n'est pas infiniment petit. Donc | ^- 1 + | ? | + | Y | sera d'ordre /i 4- i , et il j aura contact d'ordre n.

La condition nécessaire et suffisante pour un contact d'ordre n est donc que F(^,,y,,:j,) et of(^,,j-<, z^) soient d'ordre n -\- \ .

Soient maintenant

les équations de la courbe Ci. On verra, comme précédemment, que [PQj] est de l'ordre de dt^ et qu'en posant

les conditions du contact seront

^,(0 = ^'i(0=--- = ^iiO = o.