Posons, pour abréger
h = A^, /(.r + h) -J{œ) =: A f{oc). On a, par définition,
d'où
ùif{x) =/'(./•) A^ -h KAx,
R tendant vers zéro avec A^.
Ainsi ^J{x) se compose de deux termes : l'un, f'(x)A.r,
VARIABLKS KÉKLLKS. 63
simplement proportionnel à Ajt, et qui constitue sa valeur principale; l'autre, R A.r, infiniment petit d'ordre plus élevé.
Le premier terme /'(^") Ax se nomme la difféientiellc de f{oc) et se désigne par df[x).
Dans le cas particulier où f{x) se réduit à x, sa dérivée élant égale à l'unité, l'équation de définition
(,) dfi,x)^f\x)t^x
se réduit à
dx = ^x.
Substituant cette valeur de Aj? dans l'équation générale (i), on en conclura
Cette nouvelle expression de la dérivée par un quotient de différentielles est très fréquemment employée pour la représenter.
7o. Dérivée d'une somme. — So'\t y =^ u -{- v — (v une somme algébrique de fonctions ayant les dérivées connues a', v'^ w'. On aura évidemment, en désignant par Ajr, A«, Ar, A(^ les accroissements de ces fonctions correspondant à l'accroissement h = Lx donné à la variable indépendante,
A r Am A<' Am^ ^ A.r A^ A^ A^ '
d'où, en faisant tendre A^ vers zéro et passant à la limite,
, ,. Av ,. Aa ,. Ac ,. ^w , , , y' =: lim -r-^ = lim -r h lim -r lim -r — = u 4- v — sv ,
^ Ix Ax A.r ^x
Dérivée d'un produit. — Soit y = uç^ u et v ayant des dérivées connues u' et i>'. On aura
Av {u -h ^ft) (v -\- \v) — uv Ail . , Ac
Aj7 Ax Ix A.r
r =: lim-T — lim(t^ -i- A(^) -h u lim -r — := a' v -h uv .
•^ àx ^ ' Ax
Cette équation peut s'écrire
Si l'on avait y= ui^a\ . ., on aurait évidemment, d'après cela.
Dérivée d'un
quotient. -
- Soitj
on aura
u -h Aw
Au
Ar
Ar)
et
, à la
limite,
VU' — uv
Dérivée d' une fonction de fonction. — SoitjK = F(w), u=:^f[x) étant lui-même une fonction de x\ on aura évidemment
Ay A)' A//
Ax à.u Ax
et à la limite, Aw tendant vers zéro avec A:^-,
/= li,n|llim|^=:F'(«)«'=F' [/(.<. )]/'(^.-).
Dérivée d'une fonction inverse. — Soit jk =/(-2:') une fonction admettant une fonction inverse, de telle sorte qu'on ait X = '■p(jk)- Si l'une de ces fonctions a une dérivée connue, on aura immédiatement la dérivée de l'autre.
On a, en ellet, en supposant connue la dérivée de o, par exemple,
Ay I . .. Ax .^^
VARUBLKS RÉELLES. 65
Donc, à la limite,
76. Si, en un point donné x^ la dérivée f {x) n^est pas nulle, on pourra assigner une quantité 8, telle que V expression
ait le signe de f'{x) \x pour toutes les valeurs de A^ de module <C 5.
On a, en effet,
d'où
R tendant vers zéro avec A:r. On peut donc assigner une quantité 8, telle que, si | A^ | < ô, ( R | soit < \f'{x) |. Alors, /'(^)H-R ayant le même signe que /'(^), ^f{x) aura le même signe que/'(^) ^x.
77. Théorème de Rolle. — Si f{x) admet une dérivée dans l'intervalle de Xq à IL et s'annule pour Xq et X, sa dérivée s'annulera en un point intermédiaire.
Les valeurs de ^ qui sont ^Xq et ^X formant un ensemble borné et parfait, la fonction J\x) admet, dans cet intervalle de Xq à X, un maximum et un minimum et les atteint effectivement (64). Si ce maximum et ce minimum sont nuls tous deux, f{x) sera constamment nulle, sa dérivée aussi, et le théorème sera démontré.
Supposons, au contraire, que le maximum, par exemple, soit différent de zéro. Soit ç la valeur correspondante de x^ laquelle sera différente de Xq et de X. On aura f\^) =,o; car, s'il en était autrement, l'expression
/(^ + Ax)-/(^)
PUEMifeRK PARTIE.
CHAPITRi: I.
aurait, pour des valeurs suffisamment petites de Aj7^ le signe de /'(?) ^^' En donnant à \x un signe convenable, on {)0urrait la rendre positive. Donc H ne correspondrait pas à la valeur maximum de /, comme on l'a supposé.
78. Coj'ollaire. — Soient /(x), îp(^'), '|(^) trois fonctions admettant des dérivées dans l'intervalle de a k b; considérons le déterminant
f{œ) cp(^) ^{x)
f{x-^h) (d{x ^ II) ^{x-\-h) f{x-\-Bh) o{x-\-Bh) ^(^x~^eii)
C'est une fonction de la variable B, qui s'annule pour Q = o et 6 = I, et qui, d'après les règles de dérivation données ci-dessus (7o), admet pour dérivée, dans cet intervalle, le produit de k par le déterminant
A= f {x -^ 11) Q {x -\- h) ^ {x ^ h) f'{x-^Bh) o'{x-h9/i) ^'{x-h9h)
Ce nouveau déterminant devra donc s'annuler pour une valeur de G comprise entre o et i.
Posons, en particulier, 6 (j?) =: i; d'où '^(j?) = o. L'équation A = o deviendra
[c^{x)-o{x + h)]f{x-^eh)
/(^-H/o-/(^) __^f'{x-^eh)
d'où
Si nous posons, en outre, Z){x) = x, d'où 'f'{Jc] dernière équation deviendra
A^ ^f'(^jc^Bh)
i , cette
ou
f{x + h)-f(x)=hf'(x+',U).
J)ans celte formule, x-\-^h est une quantité inconnue, mais comprise entre x ei x -\- h.
79. Si la dérivée f'{x) est constamment nulle dans cet intervalle, on aura
d'où
Si cette dérivée, sans être constamment nulle, n'est jamais négative, f {x -\- h) — f{^) aura le signe de A. Soient, en eft'et, ^ un des points de l'intervalle de ^ à ^ H- A pour lesquels la dérivée est positive ; Ç H- 5 un point infiniment voisin de i et compris entre ^ et ^ H- A. On aura
f{œ-^-li)-f{x)
r\ étant un nombre compris entre ^ -f- A et ^ + 8, y;, un nombre compris entre ^ et ^.
Si l'on prend 5 assez petit, /(; + 8) — f{\ ) aura le signe de 8/'(i). D'ailleurs, /'(^) est positif, f'{y\), /'{'ru) positifs ou nuls. Enfin, o^ x -{- à — ç — 8, ^ — x ont le signe de A. Donc, sur les trois termes qui composenty(^ + A) — f{^)^ l'un a sûrement le signe de A, les deux autres ont aussi le signe de A, s'ils ne sont pas nuls. La somme a donc le signe de A.
On voit de même que, si la dérivée /'(x), sans être constamment nulle, n'est jamais positive, /"(j:^ -f- A) — fi-^) sera de signe contraire à A.
Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
Théorème. — La fonction f{x) reste constante dans tout intervalle où f'{x) est constamment nul; elle croit avec X dans tout intervalle où /'{^) reste positif; elle décroît^ au contraire, quand x croît, dans tout intervalle où f (x) reste négatif.
Les deux dernières parties de ce théorème subsistent encore SI f [x) peut s'annuler dans l'intervalle considéré, mais sans changer de signe, pourvu qu'il soit impossible d'isoler dans l'intervalle considéré un intervalle partiel dans lequel f {oc) soit constamment nul.
