X -^ \J \ — y*-t-Crr:0 et œ -\- sj Y — y^ -\- C ^ dc ::^ O
ne se coupent pas. Mais, le radical y/j — y- pouvant être afiecté du signe ±, la courbe (1) contient une seconde
branche x — y/i — y'^-\-c=^o^ laquelle coupe la courbe X -\-sJ \ — y2 | ^ | <^^ — : Q en un point qui tendra, lorsque de se rapprochera de zéro, vers une limite définie parles équations
Eliminant c, on aura, pour l'équation de l'enveloppe.
y/i — r^=o ou I — y2-Q^
On aurait obtenu ce même résultat en chassant le radical de l'équation (i) qui serait devenue
L'équation étant mise sous cette forme, on aurait
O tzz
et, en éliminant c
Otzz— =2(^ + c),
410. Théorème. — U enveloppe est tangente en chacun de ses points à L'enveloppée correspondante.
L'enveloppe est définie par le système des deux équations
Soient donc Xq^ j'o les coordonnées d'un de ses points, Co la valeur correspondante de c ; on aura
en désignant, pour abréger, par Fq, -t-^ ce que deviennent
OCq
r et -r- lorsqu on y remplace x^y, c par Xo, jKo? Cq-
L'enveloppée correspondante au point (.Tq, y^) a pour équation
F(^, 7, Co) = o.
Soit maintenant (^,,jKnC,) un point de l'enveloppe infiniment voisin de Co ; on aura les équations
lS = o, — = o,
dh\ ,^ . , . . .. . ^F
Fi et -^; — désienant ce que deviennent F et -r- pour .x = oci ^ ^ oc ^
Pour établir qu'il y a contact entre l'enveloppe et l'enveloppée, il faut montrer que F(^,,r,,Co), résultat de la substitution des coordonnées :r,,jKi dans l'équation de l'enveloppée, est au moins du second ordre par rapport à
1^1 — ^o| + lri— ro|.
Or on a
F(^i, 7,, Co) = F[^,, ji, Cl— (Cl— Co)]
dF, Mais Fi et • -— sont nuls. Cette expression sera donc du second ordre au moins par rapport à Ci — c D'autre part, posons, pour plus de clarté
dF
on aura
o = ^ = 0(^i,/i, Cl)
= <D[^o-+-(-^i— -^o),7oH-(7i-/o), CoH-(Ci — Co)]
R étant du second ordre en x, — ^o? JKi — 7'o? ^i — ^'o- Or 4>o est nul. ^51 donc -r — = ^ n est pas nulle, cette équation
UCq OCq
montre que l'ordre de Ci — • Cq est au moins égal à l'ordre de la plus grande des quantités \xt — Xo\, |yi -^^o | et, par suite, à l'ordre de | jc, — ^o | + |jK« — JKo 1-
Celte démonstration serait en défaut si ,, .>^ était nul. 11
àcô
serait aisé démontrer que, dans ce cas, (xq^ jko) est un point de rebroussement sur la courbe enveloppe.
ÂM. Soit maintenant F(^,jk, ^, c) = o une famille de surfaces contenant un paramètre c. Si l'on donne à c une suite de valeurs infiniment voisines, deux surfaces consécutives se couperont suivant une courbe. A la limite, ces courbes dessineront une surface, ençeloppe des surfaces proposées. Proposons-nous de déterminer son équation.
Soient
(2) F{iv,y, z,c)=:o
l'une des enveloppées,
ÔF d^F dc^
(3) F{œ,y,z,c-hdc) = F{œ,y,z,c)^ 'd^^^'^ J^ 71 "^•••
la suivante. La courbe d'intersection sera définie par les deux équations (2) et (3), lesquelles équivalent aux suivantes :
F{œ, y, z, c) = o, dF d'F de
OC oc I . 2
A la limite, de = o, et les équations se réduisent à
âc
La courbe définie par ces équations se nomme la caractéristique. L'enveloppe chercliée, lieu de ces caractéristiques, s'obtiendra en éliminant e entre les deux équations.
Une caractéristique coupe l'enveloppée voisine aux points définis par les trois équations
•^ de 1 d(f-
Supprimant dans cette dernière les termes nuls F et — - de.
divisant par - dc^, puis faisant tendre de vers zéro, on voit
qu'à la limite les points cherchés sont donnés par le système des trois équations
Eliminant c entre ces trois équations, on obtiendra les équations du lieu de ces points. C'est une ligne évidemment située sur l'enveloppe et rencontrant les caractéristiques. Elle se nomme ïai'éte de rebroussement.
Ce nom est motivé par le fait aisé à établir que les sections planes de la surface enveloppe présentent un rebroussement aux points où elles rencontrent ladite arête.
442. Théorème. — Lenveloppée est tangente à V enveloppe tout le long de la caractéristique .
En effet, l'enveloppe a pour équations
Soit (^ojJKo? ^0? Cq) un de ses points; on aura
L'enveloppée correspondante aura pour équation
F(^, jK, -, Co) = o.
Soit (^,,y,,^< , c,) un point de l'enveloppe infiniment voisin de {xq^Yq^Zo, Cq); on aura
dci
Fi=^o> 3r-=o^
et il faut prouver que F(^i,jk,,^,, Cq) est du second ordre par rapport à | ^i — ^o | 4- | Ji — Jo | + |2t — ^o|.
APPLICATIOî(S GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 437
Or on a F(^i,7i, -1, Co) = ¥[^i,yi, -n Cl— (Cl — Co)]
2 dc'l
Cette expression est du second ordre en c, — Cq. D'autre part, posons, pour plus de clarté,
on aura
o = — =0(^i,yi, ^1, c,)
=i^[xo+{x^ — Xç,), ..., Co4-(Ci— Co)]
= <..-Hg(,.-..)+...-.|^(.-o.)-.R.
Or <I>o est nul et R du second ordre en x^ — Xq^ . . ., c, — Cq.
