L-elte équation montre que, si -^ — = .^ n est pas nul

Ci — Cq sera au moins de l'ordre de la plus grande des quantités I ^r^ — Xq |, IjKi — jKo |j \z\ — ^0 1, et, par suite, au moins de l'ordre de leur somme. Donc F(.^,,y,, ^,, Cq) sera au moins d'ordre 2 par rapport à cette dernière quantité.

Cette démonstration serait en défaut si l'on avait ——■ = o,

OCq

auquel cas le point (xq^ y^^ Zq) appartiendrait à l'arête de rebroussement. 11 serait d'ailleurs aisé de voir que cette arête est une ligne singulière sur l'enveloppe.

443. Théorème. — L'arête de rebroussement a en chaque point un contact du second ordre avec V enveloppée correspondante, et touche la caractéristique .

Cette arête est définie par les équations

F=ro, :t- =o, -— - — o.

de âc-

Soit (xq, yo, Zq, Cq) un de ses points; on aura

L'enveloppée correspondante sera donnée par l'équation F(^, y, ^, Co) = o, la caractéristique par les équations

F{x, y, z, Co) = o, '—^ '- ^ o.

Soit (^i,y,, ^1 , Cl) un point de l'arête de rebroussement infiniment voisin du précédent; on aura

àF, â'F,

Le théorème sera évidemment démontré si nous prouvons

T-i/ NI • 'y 1 àF(a^,,y4,Z4,Co)

queF(^i,y<,^,, Co) est du troisième ordre, et — ^^ — ^ — -^—^

UCq

du second, par rapport à |.r, — ^o | + \y\ — JKo | + l-^^t — ^o !• Or la quantité

F(^i,7n ^i> ^o) = F[^i,/,, ^1, Cl— (ci — Co)]

est du troisième ordre en c< — Cq.

En second lieu, posons

On aura

— T (^^1, Ji, ^1, Cq)

OCq

= ^[^i,7i, ^u Ci-(Ci— Co)] quantité du second ordre en c^ — Co, car on a

^ de Y ' ^Ci 6^C"J

Il reste à prouver que c, — Cq est au moins de l'ordre de la plus grande des quantités \x^ — Xq\^ \y^ — jv'o |, | ^i — Zq\^ et, par suite, de l'ordre de leur somme. Pour l'établir, posons

On aura

Orr =:a)(^,,yj,^,, d )

Or <[>o = -r^ est nul et R du second ordre en x^ — Xq^ . . .,

C\ — Cq. Cette équation montre que c, — c'o est au moins de l'ordre de la plus grande des quantités \x^ — Xq |, \y^ — j-q \i

1^^ -^0 1^ pourvu que —zr.-^ soit >o.

Si cette quantité était nulle, la démonstration serait en défaut. Dans ce cas, {xq^ JKo^ ^o) serait un point singulier sur l'arête de rebroussement.

444. Soit enfin F(^,y, 5, «, 6) une famille de surfaces contenant deux paramètres a et b. Si l'on change a et ^ en

44o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

a -i- da et b -{- db, on obtiendra nne surface

F(jJ7, y, z, a-+- da, b -h db) :=¥ -{- — da -v- —db-\-....

Si da et db sont infiniment petits, et quel que soit d'ailleurs leur rapport, la surface passera par le point défini par les équations

Eliminant a et b entre ces équations, on obtiendra l'équation de la surface enveloppe. On vérifiera sans peine qu'elle est tangente à l'enveloppée.