IV. — Courbes planes

44-5. Considérons une courbe plane, définie par deux équations

Les fonctions o, cd,, étant supposées développables suivant la série de Taylor, admettent une dérivée continue. La courbe est donc rectifiable, et son arc s a une dérivée égale à \/x'' -\-y^ (111); on aura donc

dsz=isj^'--^y'^dt. .

446. Soient P un point ordinaire pris sur la courbe ; .27, y, t ses coordonnées.

Tangente et normale. — L'équation générale d'une droite

contient deux paramètres dont on pourra disposer pour faire passer la droite par le point P et établir entre elle et la courbe un contact du premier ordre.

Il faudra pour cela satisfaire aux deux équations

(2) o=zW (t) = Oi{t) — a(^{l) — o:=zy — aa^ — a,

(3) o — W{t)=y—ajc',

Des équations (i) et (2) on déduit

Éliminant ensuite a entre cette équation et l'équation (3), on aura l'équation de la droite osculatrice

Cette droite se nomme la tangente au point P.

La perpendiculaire à la tangente, ou normale, aura pour

équation

447. Pour appliquer cette formule (ou toute autre formule dans laquelle figureraient .r, x\ x\ ..., y, y' ^ y" ^ . . .) au cas où la courbe serait donnée par une seule équation

on n'aurait qu'à poser x = z>(t)^ cp étant une fonction quelconque et t une variable auxiliaire. On aurait alors

Quant à y^ ce sera une fonction implicite de t, définie par l'équation

dont on pourra obtenir les dérivées par la règle connue. Le plus simple est évidemment de poser x = t, d'où

x'=: i ^ x'^= . . . z= o] y', y", ... ne seront autre chose que

, , , . , dy d^y ^ . , ,

les dérivées -r- ? -r^o> •••et seront lournies par les équations

dx dx^ ^ ^

\ dx ây dx '

(4) \ ,r-Y ^'F dy d'-¥ dy^ dV d^y dx- dx ây dx dy^ dx^ dy dx"^ '

On aura donc la règle suivante pour transformer les formules :

Remplacer x' par Vanité, x" ^ x'" ^ ... par zéro, y\

d'Y Cv v

y, ... par les valeurs de -j^, -7^, ... tirées des équations (4).

Opérant cette substitution, l'équation de la tangente deviendra

et l'équation de la normale sera

dx dy