Cercle osculateur. — L'équation d'un cercle
contenant trois paramètres a, j3, R, on pourra les déterminer de manière à établir un contact du second ordre au point P, entre le cercle et la courbe.
Ce contact sera exprimé par les équations
(5) or= W{t)=.{x-aY +(/-(3r-R^
De ces deux dernières équations on tire
(8) ..^/(fH-/;).
\ J.I yll yl j,'/
V9) y ?— ^Iy'f yf^r, '
et, en substituant dans l'équation (5) R3=
Le rayon R du cercle oscillateur et les coordonnées a, ^ de son centre se trouvent ainsi déterminés.
Le lieu des centres des cercles osculateurs se nomme la développée de la courbe primitive G. Pour l'obtenir, il faudrait substituer, dans les équations (6) et (7), les valeurs de ^, y, 3c' ^ y ^ ^" t y en fonction de t^ et éliminer t entre les deux équations.
On remarquera que l'équation (6), en y regardant a, ^ comme des coordonnées courantes, n'est autre que l'équation de la normale à C. L'équation (-) est sa dérivée par rapport au paramètre t. La développée est donc V enveloppe des normales.
4o0. Courbure. — On nomme courbure moyenne d'un arc le rapport de l'angle cp formé par les tangentes extrêmes à la longueur A.v de cet arc ; courbure en un point (^, y) la limite vers laquelle tend la courbure moyenne d'un arc infiniment petit commençant en ce point.
Soient —j le coefficient angulaire de la tangente en ^, y,
y' + Ay'
—, -j^, celui de la tangente au point {x -\- ^x ^ y -^ ^y) ^
o l'angle de ces deux tangentes. On aura
x' -\- Ax' x' x^ Ay — y Ax'
^^"^'^~" x' + Ax' y " i^x'-^ Ax' )x' + {y 4- Ay ) y '
y-^-Ay x'
Or on a sensiblement
tangcp = (p, Ay — y dt, Ax' — x" dt,
x' Ay — y Ax' — ( x'y — yx" ) dt, {x' -\-Ax')x'-\-{y -\- Ay)y — x^''^y'',
d'où
-'y'-y'-"dt^
x'^-^y aux infiniment petits près du second ordre.
On a d'ailleurs, avec la même approximation.
La courbure k ^ lim -ç- sera donc égale à — - — — - — 3- • Elle
est, comme on le voit, égale à :^> R étant le rayon du cercle
osculateur.
Ce cercle a la même courbure que la courbe proposée. En effet, A5 désignant un arc de cercle et cp l'angle des tangentes à ses extrémités, ou, ce qui revient au même, l'angle des deux rayons menés à ses extrémités, on aura évidemment
A5 = Rcp, et la courbure ~ sera égale à ^ •
On donne souvent à ce cercle le nom de cercle de courbure; son centre et son rayon seront dits le centre et le rayon de courbure.
451. L'expression trouvée ci-dessus pour o est positive ou négative, suivant le signe de la quantité
Si cette quantité est de même signe que x' ^ la quantité
'^j coefficient angulaire de la tangente, croîtra ou décroîtra
enmême temps que ^. La courbe tournera donc sa convexité vers les y négatifs.
Ce serait l'inverse si x'y" — jk'^'' était désigne opposé à :r'.
452. Les points où x'y" — y' x" ^= o se nomment points d^ inflexion. La courbure y étant nulle, le cercle de courbure aura son rayon infini, et se confondra avec la tangente.
La tangente T en un point d' inflexion se confondra avec la tangente T' en un point infiniment voisin aux infiniment petits près d'ordre supérieur au premier. Car, en bornant l'approximation au premier ordre, l'angle o de
ces deux droites est nul; en outre, le point de contact de T' est sur la tangente T.
4o3. Les formules précédentes se simplifient si x est pris pour variable indépendante, auquel cas il faudra poser x' =zi^ x"=o.
11 viendra dans ce cas, pour la différentielle de l'arc,
<f5 tr= y/ 1 -4- y''^ dx ;
pour l'équation de la tangente,
Y-r=.r'(X-.r); pour la courbure.
et, pour l'équation des points d'inflexion,
4o4. Il est souvent préférable, pour ne pas détruire la symétrie entre les deux, coordonnées, de prendre comme variable indépendante l'arc s de la courbe.
Dans ce cas, la formule
où l'on pose t = s, montre qu'on a l'identité
dont la dérivation donne
(il) x'x"-hyy"=o,
(12) x"^-i-y''--i-x'x"-t-y'y'"=zo.
La formule de la courbure devient
Des équations (i i) et (i3) on déduit puis
(i4) x"^^y'^=k^r=^—œ'x"'—yy\
et enfin
( 1 5 ) k^ = —kx'x"'~ ky'f = x"/" — y" x'".
On donne le nom adéquation intrinsèque de la courbe à
la relation
qui existe entre la courbure k et l'arc s.
Une semblable équation définit complètement la forme de la courbe, sans déterminer sa situation dans le plan.
Les coordonnées x^ y d'un point de la courbe s'obtiendront en effet en intégrant les équations différentielles
x'^-^y'^—i, oo'f-y'x":=c^{s).
On satisfait à la première en posant
x'z^cosu^ y'=sinw,
u désignant une nouvelle variable.
Il vient ensuite
X r=r — U Sinu^
y =: u cosw,
^(s) désignant l'une des fonctions primitives de ^(s)» Il vient ensuite
x'z^cos{^s -\- c), y'=zsin{(^s -\- c),
X =: I COS {^ S -{- C) ds -h O[^0}
do
y^^ I sin {(b s -h c)ds -h y a
OU
cosf^sds — sine/ sin(t s ds -h -Tq,
y =:sin cl cos <^ s ds -h cosc 1 sinQ) s ds -^ y q.
Ces équations définissent une famille de courbes dépendant des trois paramètres c, ^o^JKo-
Mais toutes ces courbes sont superposables; car il suffit de changer l'origine et la direction des axes pour ramener les équations précédentes à la forme
x:=z j cos^ s ds, y ^=^ I sin ^ s ds,
45o. Proposons-nous d'appliquer les formules qui précèdent à quelques courbes simples.
Parabole. — On aura
d'où, en prenant x pour variable indépendante, t I P
yy=ih -y^y'
Difierentielle de l'arc :
ds
= i/ 1-^ ^dx = i/ i-^-E^djc.
V y^ y IX
Equation de la tangente :
Rayon de courbure :
R— y TV __ (j^4-/>^)'
Développée : les formules (8) et (9) donnent
oc ^ - U/
p— 7-^ y — j-t- pi — pi
On en déduit
Mais l'équation jK^--- <2.px donne
Substituant dans cette équation les valeurs de x et j'', il vient
4o6. Ellipse. — On a
jquation qui é(|uivaut aux deux suivantes : xz=zacost, y = b sint.
On déduit de celles-ci
x' =: — asiiW, /' = bcost,
x"z=z — acos^, /" = — ^sin^, )uis
x'^ -+- y"' = «2 sin'- 1 H- b^ cos= t,
x' y" — y'x"zr: ab.
On aura donc, [)our la différentielle de l'arc,
ds r= y/a* sin^ f -h b'^ cos* t dt ;
pour l'équation de la tangente,
X — a cost Y — h s,'\nt
— a siut h cost ^
pour le rayon de courbure,
et, pour les coordonnées du centre de courbure,
bcost(a'-sinH-\- b^'cosU) a^ — ô''
a = a ces t — ; = cos"* t
ab a
(en remplaçant sin^^ par i — cos^/),
, . « sin^(rt^ sin-^ H- è- cos^^) a^ — b"- . ^
a=:bsint ; z= ; sin^/
^ ab b
(en remplaçant cos-^ par i — sin-^).
On en déduit
(«2 — b')'^ cost ^= (aa)'"^,
— («^— b^Ysint=:{bp>y.
Elevant au carré et ajoutant, on aura l'équation de la développée
{aay-^{b^y'z={a''—b-)K
457. Cycloïde. — On donne ce nom à la courbe engendrée par un point d'un cercle qui roule sans glisser sur une droite fixe.
Pour obtenir les équations de cette courbe, prenons pour axe des x la droite fixe et pour axe des y la perpendiculaire menée par le point décrivant au moment où il se trouve sur l'axe des x.
Considérons une seconde position du cercle générateur.
Soit OA {fig. i4) la quantité dont le point de contact s'est
déplacé sur la droite OX. D'après la définition du roulement,
il devra s'être déplacé de la même quantité sur le cercle. Le
