Théorème. — Si f {x) reste continue clans un en

/7T^7 r ^ . fiœ ■+- h) f (x) j

semble L borne et parjait, — ^^-^ — -y tendra uniformément vers sa limite f [x).

En effet, cette expression est égale à f'(x-\-^h). Mais f (x)^ étant continue, l'est uniformément dans E (63).

Donc, on peut assigner une quantité v^, indépendante de^, et telle qu'on ait

\/'{x + eh)-f'{^)\<.

dès que le module de B/i.et, a fortiori, dès que celui de h esr < 7].

81. Théorème. — Si la Jonction f{x) est intégrable de a à b^ r intégrale définie

/{x)dx= F(X),

oii Xq et IL sont compris entre a et h, est une fonction de X à variation bornée et continue. Si de plus f{x) est continue au point X, F(X) aura en ce point une dérivée égale à/(X).

Soit, en effet, [jl le maximum de \f{x) \ dans l'intervalle ab. Décomposons l'intervalle de ^o à X en intervalles partiels .Ty^i, ..., Xh^\Xh^ ..., ^«iX. La variation totale de la fonction inté}:>rale

f{x)dx,

VARIABLES RÉELLES. Ôg

relative à cette décomposition, sera

On voit donc qu'elle ne peut surpasser une limite fixe. Donc F(X) a une variation bornée.

En second lieu, changeons X en X + AX; on aura

/X + Aa- ^X ^X + Aa-

f{x)dx-\ f{x)dx= f{.Jc)dx,

quantité qui tend vers zéro avec A^, car son module est au plus égal à |jl| A^|.

Supposons enfin que /*(^) soit continue au point X. On aura par définition

Xx-hAx f{x) dx — \\m2^f{Xu) {^k— ^/t-i),

x^^ ..., Xn^\ étant des valeurs intermédiaires infiniment voisines les unes des autres, intercalées entre X = ^^o et X-i-AX = X/i, et q/f une quantité intermédiaire entre Xh^\ et Xk.

On peut, par hypothèse, quel que soit s, déterminer une quantité 3, telle qu'on ait, tant que | A | << o,

|/(X+/0-/(X)|<£ et, par suite,

R ayant son module << s.

Supposons maintenant | AX | <; 8. A plus forte raison, les modules des différences ^k — X. seront <; ô, et l'on aura généralement

R;t ayant son module <^ ».

70 PREMIÈKE PARTIE. CHAPITRE I.

Siibstitiianl ces valeurs des quantités /(ça), il viendra La quantité

Âx

est donc toujours comprise entre /(X) 4- s et /(X) - s. Il en sera de même de sa limite

On peut, d'ailleurs, prendre £ aussi petit qu'on voudra, à condition de faire décroître suffisamment AX. On aura donc

à la limite

Xx-f-Ax

Berna? que. — Si Ton supposait X constant, mais Xq variable, l'intégrale définie

)dx

serait vme fonction de Xq. D'ailleurs, elle est égale et de signe contraire à

f{œ)dx

dont la dérivée est égale, d'après ce qui précède, à /'(;r„). Sa dérivée sera donc — /'(xo)-

82. Le théorème qui précède montre que toute fonction f{x) continue dans V intervalle de a àb est la dérivée d^ une autre fonction F(^).

Il est, d'ailleurs, aisé de trouver l'expression générale des fonctions qui ont pour dérivée f{oc). Soit, en effet,

l'une d'elles. Sa dérivée sera

F'(^) -f- cp'(^-) =/(-^) -+- 9'(>^)-

Pour qu'elle se réduise à/(^), il faut et il suffit que ^' {-x} soit nul. Donc, cp(^) se réduit à une constante c (79), qui. peut d'ailleurs être choisie arbitrairement.

Lorsqu'on a obtenu, par un procédé quelconque, une fonction #(.r) ayant pour dérivée y (^), on trouve, sans peine, la valeur correspondante de c. En effet, dans l'équation

/( X ) <ij? = rf ( X ) -h c,

faisons X = jcq. Le premier membre s'annulant, il vient

et, par suite,

On nomme fonctions p/'imitives ou intégrales indéfinies de f{^) les fonctions qui ont pour dérivée f{x). On les désigne par la notation

pour mettre en lumière leur liaison avec l'intégrale définie. Cette expression, comme on vient de le voir, ne représente pas une fonction déterminée, mais une infinité de fonctions, différant les unes des autres de quantités constantes.

83. Dérivation des intégrales définies j:ar rapport à un paramètre. — Soit f{x,y^ ..., a) une fonction des variables x^ y, .. ., a qui reste continue tant que ^, y, ... restent intérieurs à un domaine D et a intérieur à un domaine C0.

Soit E un domaine l)orné et parfait intérieur à D; pour toute valeur de a intérieure à cO, rinté^i;rale

de

aura une valeur déterminée; c'est donc une fonction de a.

Cette fonction est continue ; car, si l'on change a en a -j- Aa, elle prendra un accroissement

Alr:^ V /(^, r, . ..,a-h Aa)^e — |^ f{x, r, ..., a) de

dont le module ne pourra surpasser LE; L étant le maximum du module de Ay(^, t', . . ., a).

Or, soit ô une quantité dont le module soit moindre que l'écart de a à la frontière de (D ; le point a-|- Aa sera encore intérieur à (0, tant que | Aa | sera ^o. La fonction f restera donc continue tant que x, j', ... se mouvront dans E et que le paramètre variera entre a — o et a-hô. Cet ensemble de valeurs étant évidemment borné et parfait, la continuité de/* y sera uniforme; donc L, et par suite AI, tendront vers zéro avec Aa.

Supposons de plus que / considérée comme fonction de a seulement (^, j^, ... conservant des valeurs constantes) admette une dérivée; ce sera une nouvelle fonction de x^ y, . . ., a, que nous pourrons désigner par j\{x^ y, . . ., a), et nous aurons

A/(^, j, ...,a)=:/a(^, /, ..., a + 0Aa)Aa,

9 étant une quantité variable, mais toujours comprise entre o et I.

Si nous admettons enfin que /]x soit continue dans le même champ où nous avons déjà supposé quey* Tétait, cette expression sera de la forme

[/a(^,y,...,a) + R]Aa,

R tendant uniformément vers zéro avec Aa, dans tout le domaine E. On aura donc

Soit L, le maximum de | Ri dans E; on aura

de

quantité qui tend vers zéro avec Aa. On aura donc ,. AI

-— = V f'^{^, y, ....a) de,

Aa L7e

Il m

Aa L}e

L'inté«;rale I admet donc une dérivée, représentée par l'intégrale ci-dessus.