V. — Géométrie infinitésimale

458. Soient A, A", ... des infiniment petits connus, a, [3 des quantités qui leur soient liées par des équations

Supposons qu'on veuille déterminer a, p, ... aux infiniment petits près d'ordre n; il est clair qu'on pourra supprimer a priori dans les expressions de A, /:, ... à porter dans les équations /= o, cp = o tous les termes dont la présence n'altérerait a, p, ... que d'un infiniment petit d'ordre y/i. On verra aisément dans chaque cas, avec un peu d'attention, ce qui est négligeable et ce qui ne l'est pas.

Dans les applications géométriques du Calcul différentiel, les infiniment petits a, p, ..., A, /:, ... qu'il s'agit de calculer en fonction les uns des autres sont rattachés ensemble par une figure de laquelle on déduit les équations

/=ro, 9 = 0,

qui les lient.

Au lieu d'établir les équations exactes et d'y négliger ensuite certaines quantités, il est souvent plus simple de considérer, au lieu de la figure rigoureuse, la figure approchée qui s'en déduirait en négligeant ces quantités; de cette nouvelle figure on tirera les équations approchées.

Pour que ce procédé soit légitime, il faut évidemment qu'on soit en mesure d'établir que les changements de la figure n'altèrent le résultat à obtenir que d'une quantité négligeable eu égard à l'approximation qu'on demande. La nécessité de cette discussion diminue notablement les avantages que présente souvent la méthode géométrique au point de vue de la simplicité et de l'évidence.

Les exemples suivants éclairciront ces considérations générales.

459. Soient P, P' deux points pris respectivement sur deux courbes G, G'; r la longueur du segment de droite qui les

joint; rXj tx^ t' x les angles que la demi-droite P'P et les tangentes P/, P'i' forment respectivement avec la direction

des X positifs ; tr = tx — rx el t' r =z t' x — r' x ceux que les tangentes forment avec la droite /•; enfin 5, 5' les arcs comp-

tés respectivement sur les courbes C et G' à partir des points M, M', origines des arcs, jusqu'aux points P, P^ La

longueur /• et l'angle rx seront des fonctions de 5, 5'; cherchons leur différentielle totale.

Projetons le quadrilatère curviligne P'PQQ'P' sur une droite quelconque; la somme des projections sera nulle.

Fig. i5.

Opérons une première projection sur une droite D perpendiculaire à r. La projection de P'P sera nulle.

Celle de PQ est égale au produit de la longueur de sa corde (laquelle a pour valeur principale ds) par le sinus de l'angle qu'elle forme avec r, lequel est sensiblement égal

à tr. La projection de PQ a donc pour valeur principale

?>\wtrds.

Celle de QQ' sera égale à (r-h Ar) sin(7C-h Ara?). La va-

leur principale est — r drx.

Enfin, celle de Q'P' a pour valeur principale

— bin t'rds'.

On aura donc cette première relation

(i) r drx z= sin tr ds — sm t'rds'.

Projetons maintenant la figure sur la droite r.

La piojeclion de P'P sera r.

Celle de PQ sera sensiblement égale à cos trds.

Celle de QQ' sera — (r -f- A/-) cos A r^, ou — (^ + dr) en négligeant les infiniment petits du second ordre par rapport

à ds, d<s' ; car, ^rx étant du premier ordre d'après la formule

précédente, i — cosAr^ sera du second ordre.

Enfin, la projection de Q'P' a pour valeur principale

— cos t' r ds' .

On a donc cette nouvelle relation

( 2 ) dr— cos tr ds — cos t' r ds' ,

Si le point P', au lieu de se mouvoir sur une courbe C^, restait fixe, on aurait ds' = o et les formules deviendraient

(3) rdrao^z%\ntr ds^

/\ ( 4 ) dr = cos tr ds.

Ces formules donnent lieu à des applications très nombreuses.

460. i" SoitA'=/(cp) l'équation d'une courbe en coordonnées polaires. On demande l'expression de la différentielle de l'arc de cette courbe et la direction de sa tangente.

On aura ici rx = (d et l'on déduit des équations (3) et (4) ds^ — dr^-\-r''dc^^,

/\ dCD

tanc/r m: r-—' ^ dr

461. '2^ La courbe C étant supposée quelconque, portons sur ses diverses normales une longueur constante r. Le lieu de leurs extrémités sera une courbe C', parallèle à C.

APPLICATIONS GÉOMÉtRIQÛES DÉ LA SÉRIE DE TAYLOR. 4^55

Appliquons la formule (2). Par hypothèse, dr et cos^r

sont nuls; on en déduit cos/'y = o.

Donc deux courbes parallèles ont les mêmes normales.

462. 3" Soient encore G une courbe quelconque, G' sa développée; r la normale à G; elle sera tangente à G'; on aura donc dans la formule (2)