TU

^r =: - et t'r^=o ou tt,

suivant le sens dans lequel les arcs sont comptés sur la courbe C! . La formule se réduit à

dr=i±.ds',

et en intégrant de s'^ à s\ il viendra

r^—rç, — ±:{s\ — s'^).

Donc un arc de la développée est égal à la différence entre les longueurs des tangentes à ses extrémités^ arrêtées à la développante,

463. 4° Gonsidérons deux ellipses homofocales G, G'. Par un point M de G, menons deux tangentes

MAi=:/'i, MA2==rj

à la courbe G'. Elles seront également inclinées sur la taniifente à G. On aura donc

ces tr^ -+- ces ^/'a = o.

On en conclut que la différence entre l'arc A< Ao et la somme des deux tangentes r< -4- r^ a une valeur constante.

Soient en efl'et s\^ s'^ les valeurs de l'arc s' aux points Ai, A2 ; on aura

arc A, A2 ^= s'.-^ — s\ .

Déplaçons infiniment peu le point M; r^yi^-, A, A2 subiront des variations

dr^, dr\^ ds'^-~ds[.

Or on a, d'après la formule (2),

dri = CCS tf\ ds — ds\ , dr^:= cos tr\ ds + ds\^

l'angle t' r^ étant nul et l'angle t' r^ égal à tt.

Ajoutant ces équations, il vient

dr\ -h dr^ = ds'^ — ds\ = dK^ Aj, d'où

f\ 4- j\ =r Al A2 4- const.

i'B^. 5" Soient ;'i, ..., /•„ les distances d'un point M à n points fixes F<, . .., F,;. Si on les assujettit à une relation

9(ri, ..., /•„)=: o,

le point M décrira une courbe G. Cherchons à déterminer sa tangente.

On déduit de la relation donnée

-^dj\-\-...-\- -^dr^ — o.

Mais, d'autre, part, si M se déplace sur la courbe G, on aura, d'après l'équation (4),

dri = ces tf'i ds^ . . . , dr^ = ces tr,i ds,

et, par suite

-—- costri-{-. . .+ -H-cos^r„= o.

dr^ drn

Si donc sur chaque rayon vecteur rt on porte une longueur-r-^-) la projection de leur résultante sur la tangente dt'i

cherchée sera nulle. Cette résultante est donc dirigée suivant la normale.