Soient M un point d'une ellipse; r^^ i\ les deux
/\ /\ /\ rayons vecteurs menés des foyers F|, F2 à M; i\x^ J^2^i ^^
les angles que ces rayons vecteurs et la tangente forment
avec l'axe des x. Cherchons le rayon de courbure R au
point M.
On a, comme on sait,
/\ I dtx
D'ailleurs
/\ /^\ /\ ^ ^\ tx^^ tî\-\- r^x ^=i tT\-^ r^œ.
Enfin, les rayons vecteurs ayant pour bissectrice la normale
onc
tr^-\- tr\:=z 71.
ilx rzzTz -ir r^x ~{- r\x,
, . ri
dtx —
/\ dr^x -^ dr^x
Or la formule (3) donne
^1 dî\x = sin tr\ ds\, r^dr^œ ^= sm tr^ ds
et
On aura donc
466. Soit à construire la tangente à la courbe K. lieu des sommets d'un angle o de grandeur constante dont les côtés restent tangents à deux courbes données.
Fig. 17.
Soient ABC, A, B, G, deux positions voisines de cet angle. Il s'agit de déterminer la direction limite de la droite BB,.
L'angle des deux droites AB, A, B, est égal à celui des droites BC, B,G,. Si nous le considérons comme du premier ordre, les arcs AAj, GG< seront du même ordre et BB, également.
Au contraire, la distance de A à la tangente A, B, et celle de G à B, G, seront du second ordre. Si donc par A et G on menait des parallèles à A, B, et à B, G,, leur point d'intersection ^ serait à une distance du second ordre de B, et, par suite, infiniment petit par rapport à BB,. La direction limite de BB, sera donc la même que celle de B^. Mais Bp est une
corde infiniment petite du cercle lieu des points d'où l'on voit AG SOUS l'angle o. La tangente à ce cercle donnera donc la direction cherchée.
467. Soit à circonscrire à une courbe donnée un triangle d'aire minimum.
Supposons le problème résolu. Soit ABC un des côtés du
Fier. i8.
triangle. Déplaçons-le d'un angle d(^ de manière qu'il vienne en A'B'C et soit encore tangent à la courbe donnée en B'.
L'aire S du triangle aura subi un accroissement
ASrrr DGC — DAA',
dont la partie principale dS doit être nulle pour qu'il y ait minimum.
Si d<f est du premier ordre, il en sera de même de BB'.La distance de B à la tangente A^B'G' sera du second.
Par le point B menons une parallèle BE à A'B', et, du même point comme centre, décrivons un cercle GF de rayon BG.
L'aire du secteur BGF sera -BG<icp. Gelle de BDG'E et de GEF seront évidemment d'un ordre plus élevé. Donc la valeur principale de DGG' sera -BCd(D.
On voit de même que celle de DAA' sera -BA^/cp
46o PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IV.
Pour que dS soit nulle, il faudra donc qu'on ait BC=rBA.
Donc, pour qu'il y ait minimum, il faut que les points de contact du triangle avec la courbe soient situés au milieu de ses côtés.
