Soient

p un point (:r, j, z) de la courbe correspondant à une valeur t de la variable ; T la tangente ; P le plan osculateur.

Soity^>i un point de la courbe infiniment voisin de/?, correspondant à la valeur t-]-dty et soient ^ -f- A:r, y + Ay , z -\- ^z les coordonnées de /?, ; T,, Pi la tangente et le plan osculateur correspondant.

Les distances de /?< à /?, à T et à P, de Tj à T, et les angles de Ti avec T et P, de Pi avec P sont autant d'infiniment petits, dont il est intéressant de déterminer les valeurs principales.

Distance dep^ àp. — Elle est égale à ^ ^x'^ -h ^y'^ + As^^ ou, en remplaçant A^, Ajk, A^ par leurs valeurs approchées x' dt^y' dt^ z' dtj à

sjx'*'^y'^-^z'^dt — ds.

476. Angle de T, avec T. — On sait que l'angle cp de deux droites, dont les cosinus directeurs sont respectivement proportionnels à a, c>, c et à a, , 6i, Ci, est donné par la

formule

a^iH- 66i H- cCx

COSO) =

s/a"^ b^-^ c^ \/a\^ b\-\- c\ On en déduit

. , __ {a--\- b^^c') {a\ + 6^ + c; ) — (^^1 + bb, + cc^Y

(6c, — c6,)^-|- {cai — aCiY-i- {ab^ — ba^Y

Pour appliquer celte formule, il faudra y remplacer «, b, c, ai, bf, Ci par leurs valeurs actuelles

^', j', z', ^'4-A^', y'-i-Ay, ^'-t-A*', ce qui donnera

^7^ Sin^CD=: — — ^ ^^ '

^x' ^ Aj^', A^', étant infiniment petits, peuvent être négligés au dénominateur, qui est fini. Au numérateur, on les remplacera par leurs valeurs approchées x" dl^y" dt^z" dt. 11 viendra alors

sin^cp = - — j—-dr.

Donc cp, qui est égal, au troisième ordre près, à sin C9, aura pour valeur approchée

JNous appellerons courbure, comme dans les courhes planes, la limite du rapport de l'angle de deux tangentes voisines à l'arc qui sépare les points de contact. Cette limite est évidemment égale au rapport des valeurs principales de ces deux quantités ; en la désignant par A*, nous aurons donc

R désignant le rayon du cercle osculaleur.

Ce cercle, son rayon et son centre pourront s'appeler, comme pour les courbes planes, cercle, i ayon et centre de courbure.

Ail . Angle de P açec P<. — Cet angle ^^ égal à celui des normales à ces deux plans, sera donné par la formule sui-

APPLICATIONS GfiOMÉTRIQUES DE LA SÉUIE DE TAYLOR. !\-] \

vante, analogue à la formule (17), . ^1 (BAC-CAB)- + (CAA-AAG)^ + (AAB-BAA)^

au dénominateur, on pourra négliger AA, AB, AG ; au numérateur, on les remplacera par leurs valeurs approchées

dK-=i{yz"' - z'y"')dt, dB = {z'œ'" — .x'z"')dt, dC=:{x'y"' — yz"')dt.

Posons, comme précédemment.

on trouvera

d'où

sin-vp

B AG - G AB = D^' dt, GAA — AAG^Dj'^^, A AB - B AA = Ds' dt.

D^ ds

et, en remplaçant le sinus par l'arc,

A^+B^^-hG^

La quantité -7- = — rrz tt^ se nomme la torsion de la

^ ds A- 4- B2 -f- G^

courbe ; nous la désignerons par t. Son inverse se nomme le

rayon de torsion.

478. Angle de P avec T,. — Cet angle 9 est donné par la formule

.i„.^ A(^--hA.r-) + B(/+Ay)+G(^-+A^-)

Au dénominateur, on peut négliger Aj?', ^y' ^ ^z'. Au nu-

mérateur, on les remplacera par leurs valeurs approchées x" dt H- {x"'dt',y"dt + \y"'dt^, z"dt^\z"'dt\ Remarquant que l'on a

A^" +B/' + Cs"=o, A^"'+B/"-hC5'"i=D,

et mettant 9 au lieu de son sinus, il viendra

B — J. , dt- —

si S} -1- B2 4- G=^ \Jx'-' H- /' + -" ^

479. Distance de p^ à T. — Nous avons trouvé (403), pour la distance du point (a, a,, ao) à la droite

la formule

^ /[(<^J — «^1)^2 — («2 — «2)^1]"+ [{ci.;^— (x.i)b — {a — a ) h^'Y ^ . V b^^-b\^b\

Nous avons ici

azzix, a^z^zy^ a^z^z,

a = ^ -h A.r, «i^r + Aj, a2=--H^^i b^^x', 61 =r', b.2^=^z'.

La formule deviendra

Az — z' \yy- ^ {z' Ax — x' Azy-h (x' ^y — y' ^xy'

ou, en remplaçant A^r, Ay, Az par leurs valeurs,

,/ dt^

Ax =z x' dt -h x" h .

„ dt'' Ay=iy'dt^y"—^-\-.

Az = z' dt + z" — -^.

Ô rri

480. Distance de p^ à P. — Elle est donnée par la formule connue

^+ A(.37H- A^ — ^) + B(y-4- Ay — y)H-C(-s + A^ — ^) ou, en remplaçant A;r, Ay, A^ par leurs valeurs approchées,

x'dt^\ x" dC' -h \ x'" dt^ -V-

dt'

x k ds^ "6

481 . Distance deT àT^. — Appliquons la formule trouvée pour la distance de deux droites, en j posant, pour a, a,, «2, 6, èi, 62, a, a<, ao, p, j^i, [^27 leurs valeurs actuelles ^, j^, ^, ;r', y, 5', ^ + A^, y-i-^y, z-h A^, ^' + ^x', y' H- A/, ^s' -h ^z' . Il viendra, pour la distance cherchée s.

ou

Ay A/ -/

Le dénominateur a pour valeur principale y/A- 4-B- + G- dt . On a, d'autre part,

„dt- ,„dt^

x'dt-\-x" \-x"'-^^... x"

dt'

y'dt-\-y"^-ry"'^^... fdt-^y'"'^-^-.,.

zJdt^ z"—^z"'^-+-... z"dt-\- z'" — -^...

ou, en ajoutant aux termes de la première colonne ceux de la deuxième et de la troisième, respectivement multipliés

par — ^dt et par dt (ce qui n'altérera pas le déterminant^ a^'^dt^l i) -h . . . œ"dt + œ" ^ 4- . . Lzzz y"'dtm-l)-^... fdt^y'"'-^^... —y' zJ"dt'{\-\).-^... z"dtou, en réduisant chaque terme à sa valeur principale,

dj^

cW

Lzzz-^df^

Donc

jc œ X

de

kzds'

S/AM-BM^

482. On nomme plans osculateurs stationna ires ceux qui correspondent aux points où D = o. La torsion étant nulle en ces points, le plan osculateur P s'y confondra, au deuxième ordre près, avec le plan osculateur en un point/?, infiniment voisin.

En outre, la distance de P à yo, sera du quatrième ordre. Le plan P aura donc un contact du troisième ordre avec la courbe, et se confondra avec la sphère osculatrice.

On voit par là que les plans stationnaires sont analogues aux tangentes d'inflexion des courbes planes.

483. Proposons-nous encore de calculer la différence entre un arc infiniment petit et sa corde.

Nous simplifierons un peu les calculs en admettant qu'on ait pris pour variable indépendante l'arc 5. On aura, dans ce cas,

et, en dilTérentiant,

x'x"-\-yy'-^z'z''

puis

On déduit de là

cy — Bz' zz, {œ' y — y œ')/ - {z'a'"—x'z")z'

— a^'{yy-^z'z")^:r"{y'-hz'^)

kz' — c^x' =r - /', B^'— k.y -

et la formule de la courbure devient

k^—x"-'-[-r"''-hz'"- — —{x'x"'-\-yy"'-\-zrz"').

Gela posé, soit <^5 un arc infiniment petit; sa corde sera y/A^- -\- Ly^ -{- Lz- . Il s'agit d'évaluer la différence de ces deux expressions.

On a identiquement

ds — \J^x^ + A v^ -4- A^^ = -^ .

Le dénominateur de cette expression est sensiblement 2 ds. Pour avoir le numérateur, on remplacera A;r, Ay, A5 par leur^ développements :

A^ = .r' rt5 H- Jï- — ^ x' — h . . . .

Développant et ordonnant suivant les puissances de ds^ il viendra

(^i--x'^ — y''—z'^)ds''—{x'x"^y'y"-^z'z")ds'

jc"^^y"^'-^z"- x' x" -h y' y'" ^ z' z''

Les coefficients des termes en ds"^ et ds^ s'annulent. Celui du terme en ds'^ sera, d'après les équations précédentes,

Donc la différence cherchée a pour valeur principale

— ds'*

1 2 k^ ds^

2 ds 24

484. On nomme normale principale au point (x, j', ^) la perpendiculaire à la tangente située dans le plan osculateur; binormale la perpendiculaire au plan osculateur. Ces deux droites forment avec la tangente un trièdre trirectangle. Déterminons les cosinus directeurs de ces trois droites : 1° Les cosinus directeurs a, 6, c de la tangente, étant proportionnels à x',y\ z', seront respectivement égaux à

.t' dœ y' dy

z' __ dz

y/,c'2 4 y'2^5'2 ~ ds '

2** Ceux de la binormale a, j^, y étant proportionnels à A, B, C seront égaux à