Intégration par parties. — Soit
une fonction formée du produit de deux autres. On aura
df{x) t= o'(^) <^(^) dx + o{x) "Wx) dx et, en intégrant àe x =. a k x ^= b ^
J' (d' {x)^h{x) dx + i o{x)^'{x)dx
=:f'df{.r)=/(b)-/{a).
Cette équation ramène, comme on voit, le calcul de Tune
des deux intégrales qui figurent au premier membre au calcul de l'autre, qui pourra se trouver plus simple.
Ce procédé de réduction a reçu le nom à^ inté g rat ion p aiparties.
Quant au second membre f{b) — f{ct)^ il conviendra, lorsque la fonction /(.r) a une expression complicpiée, de le représenter par la notation abrégée
VIL — Dérivées partielles. Différentielles totales.
80. Passons à la considération des fonctions de plusieurs variables.
Soit, par exemple, u=zf(^x^y) une fonction de deux variables x^ y définie dans tout l'intérieur d'un certain domaine D.
Soit {x^ y) un point quelconque intérieur à D. On pourra déterminer une quantité ù telle que tous les points
|:r-h A^-, y-+- A7I, où
|A^| + |Ay|<ô,
soient encore intérieurs à D.
Changeons ^ en ^ + Ajc, sans faire varier y. Si l'expression
tend vers une limite fixe quand ^x tend vers zéro, cette limite se nommera la dérivée partielle de / par rapport à x au point x^y. On la représente indifféremment par l'une ou l'autre des trois notations suivantes :
Si l'expression
/(^, 7 + Ay)— /(.r, y)
Ay
tend de même vers une limite, ce sera la dérivée partielle par rapport ky, et on la représentera par les notations analogues
f'y{x,y), Dyf{x,y).
Si en chaque point intérieur à D il existe des dérivées partielles, chacune d'elles sera une nouvelle fonction de x, j, définie dans l'inténeur de D.
86. Supposons maintenant qu'au lieu de faire varier isolément x^ y, on les change simultanément en ^ H- A^, y + Ay, et étudions l'accroissement
Cette expression peut se mettre sous la forme
f{x -h ^x, y 4- Aj) -/(^, y + Ay) +/(j7,y 4- Ay) —f{x,y) ou, en appliquant la formule (3) du n*" 78,
f\\x -h f) Ajs-, y 4- Ay ) A^ ^fy{x, y + 9, Ay) Ay,
8 et 9, étant des quantités plus petites que l'unité.
Faisons tendre A^ et Ay vers zéro. 8 Ax et 9, Ay tendent afortlorl vers zéro, de quelque manière que puissent varier Q et 9,. Si donc les fonctions y'^, f'^. sont continues au point x^ y, les multiplicateurs de ^x et de Ay tendront respectivement vers/^(:r, y) et/^(^, y).
Soit d'ailleurs E un ensemble borné et parfait quelconque intérieur à D et dans lequel /ç, f'^ soient continues. Leur continuité sera uniforme. On pourra donc, quel que soit £, assigner une constante 0 telle que pour tout point de cet ensemble les différences entre ces multiplicateurs et leurs limites deviennent << s dès que | A^ |, | Ay [ deviennent <C 3.
On aura donc
(.) A/(^,y) 3zz/^(^-,y) A^ 4-/;.(^,y) Ay + RA.r + R, Ay,
R et R, tendant vers zéro avec ^x et Ay (et cela uniformément dans tout l'ensemble E).
On voit donc que A /"(j?, y) se compose de deux parties, l'une
simplement linéaire en A^ et Ay, l'autre composée de termes d'ordre plus élevé que l'un ou l'autre de ceux qui précèdent.
L'expression (2) se nomme la différentielle totale de fi^x^ y) et se désigne par d/(x^ y). Les deux termes qui la composent sont les ditlerentielles qu'on obtiendrait en faisant varier une seule des deux variables ^, y et laissant l'autre constante. On leur donne le nom de différentielles partielles.
Si l'on supposait, en particulier, que la fonction /(^, y) ne fut autre que x, f^(x^ y) se réduirait à i , et fy.{x^ y) à o. L'équation
dfi^, 7) =/x(-^, y) A^ -+-/;.(^, y) Aj
se réduirait donc à
• dj:: = A^.
En supposant que /{x, y) se réduisît à 7, on trouverait
de même
dy z=z Ay, et, par suite,
(3) ^/(^, y) =/^(^, y) dx 4-/;-(.r, y)dy.
Ainsi qu'on l'a vu aux n "^ 73 et 79, la condition nécessaire et suffisante pour que/(^, y) reste constante lorsque x varie seul (et, par suite, se réduise à une fonction de y)
De même, la condition nécessaire et suffisante pour que /(^, y) ne dépende pas de y est //-(^, y) = o.
Ces deux conditions réunies exprimeront que /est indépendant de X et de y, et, par suite, se réduit à une constante. Elles peuvent être résumées en celle-ci :
Car, pour que cette expression, égale à
s'annule identiquement quels que soient \x et Ay, il faut et il suffît que f'j.{x^ y) et fy{x^ y) soient nuls séparément.
87. Admettons que, par un procédé quelconque, on ait mis A/(^, y) sous la forme
(4 ) A/( ^, 7 ) = A <i^ -h B ^/ -H S (i^ H- S) dy,
A et B étant indépendants de dx et dy, et S, Si tendant vers zéro en même temps que dx^ dy\ on aura
A —fx{^^ /)» B —f\\x,y), df{x, y) rr: A <i^ + B dy ,
Egalons en effet les deux expressions (i) et (4) de Lf^x^y) ; il viendra, en divisant par dx^
Faisons tendre dx et dy vers zéro, de telle sorte que -—
^ dx
tende vers une valeur fixe A; on aura à la limite
Celte égalité, ayant lieu quel que soit À, se décompose dans les deux suivantes ;
88. La remarque qui précède permet de déterminer aisément les dérivées partielles et la différentielle totale d'une fonction composée.
Soit, en effet, une semblable fonction
w, i^, . . . étant elles-mêmes des fonctions des variables indépendantes x^ y^ ....
Pour obtenir la dift'érentielle totale de cette expression, considérée comme fonction de x, y, . . ., donnons à x, }\ . . . des accroissements dx, dy, .... Soient A«, At^, ..., A/ les accroissements correspondants de «, p. . . ., f. On aura
^f=~^^u-h ^ Ap -h . . . -h R Af/ -h Ri Aç^ + . . . , ou O^'
R, R,, ... tendant vers zéro avec Am, Ap, .... Mais on a, d'autre part,
A« = -^dx -{- -^dy -{- . . .-^'Sdx ^'^i dy + . . . ôx ày "^
z=: du + S dx -+- Si dy -(-...,
Ar = —-dx -\- ^~dy -{-. . .-\-T dx -hT, dy -i-. . . dx ây "^ '^
=idv^Tdx-hT,dy^...,
S, S,, ..., T, T|, ... tendant vers zéro avec dx, dy^ .. Substituant ces valeurs dans l'expression de A/*, il vient
^^^ du'^'''^ ^^^r+.-.-f-p^^ + Pi^'j-h...
^ {^I^^^il^^,\dx \du dx Ov dx )
àf du df dv \ ,
du dy dv dy J ^
^. . .-\- p dx -^ p^dy ^ . . .,
p, p,, ... tendant vers zéro avec dx^ dy. On aura donc
df dfdu df dy
dx du doc dv dx ' " ''
df dfdu ôfdy
dy du dy dv dy
et, d'autre part,
,. df , df .
dfz=i^du-\--^dv + ^ du dv
d'où les deux propositions suivantes :
La dérivée, par rapport à une variable indépendante x^ d^ une fonction composée f{u^ ^7 • • •) s'obtient en ajoutant
ensemble les dérivées partielles -~, -z-, •••> respectivement multipliées par les dérivées de u^ v, ... par rapport à X.
La différentielle totale df s^ exprime au moyen de w, v^ ..., du^ dv^ ..., de la même manière que si w, v^ ... étaient des variables indépendantes,
89. Supposons que des fonctions z/, (^, ... des variables indépendantes x^ y, ... satisfassent identiquement à une équation
Le premier membre de cette équation étant une fonction composée de x^ y^ . . . dont la valeur est constante et égale à zéro, ses dérivées par rapport à chacune de ces variables sont nulles. On aura donc
df df du ox ou ox
df df du dy du dy
df
ai'
dv
dv
Oj
Ainsi toute identité f{u^ r, ...)=: o fournira de nouvelles identités en égalant à zéro les dérivées de son premier membre par rapport à chacune des variables indépendantes.
Ces nouvelles équations peuvent d'ailleurs se concentrer en une seule :
,. àf , . df , , dx dy ^
90. Nous dirons qu'une fonction f{x^ y, . . .) est définie (ou jouit d'une propriété donnée) aux environs du point
8o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.
(X(i^ yo5 • • •) si l'on peut déterminer un nombre positif A, tel que la fonction soit définie (ou jouisse de la propriété demandée) pour tous les points (^, y, .-.) où \x — Xo\, Ir— ro|, ... sont 5 A.
91. Théorème. — Soit F(x^ y, . . ., u) une fonction des variables x, y, . . ., u, laquelle s^ annule au point
Supposons : i° qu^elle soit définie et admette des dérivées partielles continues ¥'^, F' ..., ¥'^ aux environs de ce point; 2" que F„ ne s^ annule pas en ce point.
On pourra déterminer une fonction des variables x. y, . . . définie aux environs du point {xq^ y^, . . .) et prenant en ce point la valeur Wq, et qui enfin, substituée à la place de u dans V équation F = o, la rende identiquement satisfaite ; cette fonction sera unique et admettra les dérivées partielles
En vertu des hypothèses faites sur l'existence et la continuité des dérivées partielles F^, F!^, ..., F'„, on pourra déterminer une quantité positive A, telle que, pour tous les points (x, 7, ..., a) où \x — Xq\, |y — Jo |, • .., | ^^ — ^^0 | sont ^/z, ces dérivées partielles existent et diffèrent de leurs valeurs initiales (F'^)o, (F!^)o, ..., (F'„)o de moins de s, en désignant par e une quantité positive choisie à volonté, mais que nous supposerons moindre en valeur absolue que (F'„)o.
Si donc on désigne par A la plus grande des quantités I {^'x)o I + e, I (F:^)o I ^- £, . . . et par B la quantité | (F;,)o | — £, on aura, pour tous les points considérés,
En outre, F^ conservera toujours le signe de (F',J(,.
Gela posé, soit m + i le nombre des variables x^ y, . . ., w;
désignons par k le plus petit des deux nombres h, — -r li. On
aura, pour tous les points [xq-\-^x^ ..., Uq-^^.u)=^(x^ ..., u) où \x ^ A-, AjK ^ A", ... et Aw ^ A,
-hF;.(^o-i- A^, jo-H^i Ay, . ..,^0) Av-h. .. + F,;(^oH- Ax, 7o+ Aj, ..., u-\-Q,n^u)^u,
Cliacun des m premiers termes de cette expression a son module <; A/r. La somme de leurs modules est donc
<mAA<BA.
Mais, d'autre part, le dernier terme a son module plus grand que B j ^u \.
Si donc nous posons, en particulier, Aw^dz/i, ce terme l'emportera sur la somme des autres et donnera son signe à l'expression. D'ailleurs, le facteur
F;,(^o + A^, /o+ Ay, ..., wH-0,„ Aw)
a toujours le même signe, celui de (F'„)o. Donc, si l'on pose successivement Aw = A et A;^ = — A, on obtiendra, pour F(^, y, . . ., w), deux valeurs de signe contraire. Mais F est une fonction continue de w; elle s'annulera donc pour une valeur de u intermédiaire entre Uq — h et Uo-i-h. Elle ne s'annulera d'ailleurs qu'une fois, car sa dérivée garde le même signe dans tout cet intervalle.
Nous avons donc établi qu'à tout système de valeurs de X, j)', ..., tel que x — Xq^ y — ya, ... aient leurs modules non supérieurs à A*, correspond une valeur unique de u comprise entre u^^— h et Uq-^ li et satisfaisant à l'équation F=:o. L'ensemble de ces valeurs constituera une fonction de ^, y, ... entièrement définie dans ce domaine, et qui se réduit évidemment à Uq au point [xq, yo^ . . .).
Soient d'ailleurs (x, y, . . .) et {x -+- ùiX, y -+- Ay, . . .) deux points de ce domaine; a et u -{- lu les valeurs correspon- J. - I. 6
dantes de celte fonction. On aura
or= F(j; + Ajc. y -+- Ar, . . . , « 4- ^u) — F(cr, 7, . . . , u)
= F^(^ -h 0 Ajt, /, . . ., m) A:r
-hF'y{oC -{~^^,y-^6^^y. . . . , m) A7-1-. . . -■h F'^(œ -+- A^, / -H Ay, . . . , i^ -+- 0,„ ^u) Aw.
Le multiplicateur de Aw ayant son module plus grand que la constante B, cette équation montre que au tend vers zéro
avec A^, Ay ,
Faisons, en particulier, Aj^=...= o. L'équation se réduit à
0= Fi(j7 4- 9 A^, y, . . ., m) Aoi?
