A^+B-^+G-^)^ B(BA^— AB^) + G(GA^- AGQ
= -^^^ -^—^ dt — Ir ds,
et de même
d^ z=z ixT ds, dy =. vx ds.
Enfin
dX — d{yb—(^c) — ydb-V-bdy~cd^ — ^dc = ( — yi^-k H- 6vT — cixx 4- (3v/:) <^5 = ( |3v — y|ut ) ^ «f^ 4- ( 6 V — c jjL ) T <^5.
On a d'ailleurs
(3v — y|jL = |3 ( (3 « — ab) — y{ac — y a)
— «(a^-j- |3- + y-) — a(^a-l- 6(3 -h cy)
bv — cij.--^ b{^a — ab) — c{a.c — y a)
— — o(.{a^-h b^-h C-) -h a{aa-{- b^-+- cy)
Donc
dï. T=^ akds — ocT ds^ et de même
d[i. z=z bkds — (3t ds,
dv z=ickds — yr ds.
486. Il résulte de ces formules qu'une courbe est complètement définie lorsqu'on connaîtra :
1° La loi suivant laquelle la courbure et la torsion varient en fonction de l'arc s comme variable indépendante ;
2° Les valeurs de x^ y, z^ a, 6, c, a, (3, y, X, ^m, v correspondantes à une valeur particulière de 5, à la valeur zéro, par exemple.
En effet, les formules précédentes donnent les dérivées, par rapport à 5, des quantités
dx , dy dz o -,
en fonction de ces quantités elles-mêmes, de la courbure et de la torsion. En les diff'érentiant, on obtiendra les dérivées secondes, et ainsi de suite. Mais, pour a""!:=: o, on connaît les
valeurs des quantités a, 6, c, a, |3, y, )., ui, v. On aura donc,
pour 5 = 0, la valeur de toutes leurs dérivées.
doc Connaissant ainsi, pour 5 = 0, les valeurs de x^ a^= -r- y
—- z= ——-y .. , on pourra calculer x par la formule de
as ds^ ^ ^
Maclaurin
dx\ /^\ f
ds /o \ ds- /o I -2
De même, poury et z.
487. Appliquons les formules précédentes à V hélice. On donne ce nom à la courbe décrite par un point dont la projection sur le plan des x^ y parcourt une ligne G donnée arbitrairement et dont la hauteurs au-dessus du plan des x, y varie proportionnellement à l'arc décrit par sa projection.
Prenons pour variable indépendante l'arc 1 de la projection. Les équations de l'hélice seront
a étant une constante.
On aura, par suite
où
ax\
Cr^^-
et
de
plus
-odod"-
-fx'"--.
Y désignant la courbure de la projection.
Cela posé :
i"* La différentielle de l'arc de l'hélice sera donnée par la formule
ds^—{x"'--\-y^-^a^)d(j'-:=^{i-^ a' ) d(j\
48o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
Le rapport de ds à d^ est donc constant.
2** L'angle 9 de la tangente avec l'axe des z sera donné par la formule
CCS B = , = , •
sjx"--^y'^-^z'^ \/i-h«2
Il est donc constant.
3° L'équation du plan osculateur sera
— ay"{X — œ)-^ax"{Y — y)-\-y{Z — z)—o.
Il contient la normale au cylindre projetant, laquelle a pour équations
car en substituant dans l'équation du plan osculateur à X — x^ Y — y^ Z — z les quantités proportionnelles — y' ^ x\ o on obtient comme résultat
a{x'x"-^y'y"), ce qui est nul.
4° La courbure k est égale à
sJa'y"^-\- a^x"^+ {^' f — y'
5° La torsion t est égale à
— ay" x'" -\- ax" y'"
ay^
ay
a''y"'^+a'x"^+{x'y" — y'xY (^a''->r\)y' a'-hi
VIL — Systèmes de droites.
488. Une droite D, passant par un point (a, a, , «3) et dont les cosinus directeurs sont proportionnels à 6/èi, 62, a, comme on l'a vu, pour équations
OU, en introduisant une variable auxiliaire t^
t^ b'^ -1-6,-1-62 étant la distance du point (X, Y, Z) au point (a, «1, a^).
Supposons que les coefficients a, 6, ... dépendent de certains paramètres a, ^8, .... En faisant varier ces paramètres, on obtiendra un système de droites.
S'il n'y a qu'un paramètre a, ces droites formeront une surface réglée dont on obtiendrait l'équation en éliminant a entre les deux équations (i).
S'il y a deux paramètres a, [3, on aura une congruence de droites. Par chaque point (^r, y, 2) de l'espace passeront une ou plusieurs droites de la congruence, correspondant aux systèmes de valeurs de a, j3, qui satisfont aux équations
S'il y a trois paramètres a, (3, y, on aura un complexe de droites. Par chaque point (^, J', z) passeront une infinité de droites du complexe, formant un cône, dont on obtiendra l'équation en éliminant a, ^, y entre les équations (i) et (3).
Enfin, s'il y avait plus de trois paramètres, le système contiendrait toutes les droites possibles, car on pourrait déterminer les paramètres de manière à faire passer la droite par deux points arbitraires (.r, y, s), {^x^ , y^., z^ ), ce qui ne donnerait que quatre équations de condition.
