Soient D une droite du système, ayant pour équations
X = a H- 6^, Y =ia^-^ bit, Z=i a^^-^ b^t,
et D< une droite infiniment voisine, laquelle aura pour équations
X = a -^ da -h ( 6 -^ db ) /,
Y nz (2, 4- da^ -1- ( 61 + db^ ) t, 2i^=z a^^ da^-^ {b^+ db^^)t, -,
en bornant l'approximation au premier ordre et écrivant par suite da., db^ ... à la place de Aa, A6, ....
La position relative de ces deux droites dépend des éléments suivants :
1° Leur angle '^. On aura, d'après des formules précédemment trouvées,
en posant, pour abréger,
A =z b'^db., — b^db^^ Aj=: b^db — b db.,, Aa^ 6 db^ — b^db.
2° La direction de leur perpendiculaire commune E, laquelle a pour cosinus directeurs
Al
3° La position du point de rencontre de D et de E. La valeur T de la variable t qui correspond à ce point sera (405)
A-^+Af-h-A^' N désignant le déterminant
ou plus simplement
b -hdb
da
Al
bi-+-dbi
— dai
b^ + db.2
— da^
A da
A, dai
en négligeant db^ db^^ db^i par rapport à ^, ^,, b^^
4" La plus courte dislance 8 des deux droites D, D,. Elle est donnée (405) par la formule
L désignant le déterminant
da
dh
da^
db.
da^
db^
On peut convenir de prendre le radical positivement dans toutes ces formules. Alors 8 aura le signe de L ; et ce signe fixera le sens dans lequel la longueur 8 doit être portée sur la droite E.
On peut d'ailleurs substituer comme élément de définition à la distance infiniment petite ô le rapport fini
qu'on nomme \^ paramètre de distribution.
Proposons-nous de déterminer les relations qui existent entre ces éléments T, X, \^^ Xo, p. Nous aurons à distinguer trois cas distincts, suivant le nombre des paramètres variables.
490. Premier cas : Surfaces réglées. — On n'a qu'un seul paramètre a, et si, dans les expressions de T, X, X,, Xg, />, on remplace da^ db^ . . . par leurs valeurs a' d(x^ b' dcf.^ . . ., la quantité doL^ se trouvant en facteur avec le même degré au numérateur et au dénominateur, disparaîtra de ces expressions.
La droite E, sur laquelle se mesure la plus courte distance des droites D et Di, étant complètement déterminée par les valeurs de T, X, X,, Xo, on aura ce théorème :
Les génératrices d'une surface réglée infiniment voisines d'une même génératrice D viennent toutes couper
perpendiculairement une même droite E {au second ordre près).
Le point d'intersection de D avec E se nomme le point central de la génératrice D. Il aura pour coordonnées
Le lieu des points centraux se nomme ligne de striction. On aura ses équations en éliminant a entre les trois équations ci-dessus.
49i. Soit
œ^=^ a-^- bt,
ba
un point de la surface. Ses coordonnées sont exprimées, comme on le voit, en fonction des deux paramètres a et t. L'équation générale d'un plan
.l,X + iibY -h 3Z + (D = G
contient trois paramètres, dont on pourra disposer pour établir un contact du premier ordre avec la surface. Il faudra pour cela satisfaire aux trois équations
{a -1- bt) -Mllj(ai -^b^t)-^ e{a, + b^t)-\-(Sd,
O =: -^— zzz A>0
dt
On en déduira
o — X{X — a — bt) ^ }SV{\ — a^— b^t) + S(Z - a^—b^t),
et, en éliminant <Ao, ill^, ©, on aura l'équation du plan tangent sous la forme
\ — a — bt \ — a,— b,t Z b b,
a' -hb't
Ce plan contient la génératrice. En efïet, un point quelconque de cette génératrice a ses coordonnées de la forme
a -\- bti, a^-\- b^t^^ a<2,-\- b^t^.
Substituant ces valeurs des coordonnées dans l'équation du plan tangent, les deux premières lignes du déterminant deviennent identiques, sauf le facteur commun t^ — t.
Mais la direction de ce plan tangent variera en général avec la position du point de contact (^, y^ z) sur la génératrice. On voit, en effet, que l'équation du plan tangent dépend de t.
492. Pour déterminer simplement la loi de cette variation, nous admettrons que nous ayons choisi pour axe des z la génératrice considérée D, et pour axe des y la droite E qui lui correspond.
On aura, pour tous les points de D,
^ =1 G, y z=io.
Donc, pour cette génératrice, a, 6, a^ , 6, seront égaux à zéro. D'ailleurs rien n'empêche de prendre pour variable indépendante, à la place de ^, la fonction linéaire «2+ b^t. On peut donc supposer qu'on a constamment
Gela posé, la génératrice D aura pour équations
Une génératrice infiniment voisine aura pour équations
x^zda -\- tdb z^da -\- z db^
y z=L da^ 4- t db^ ■=. da^ -f- z dbx •
Mais, par définition, cette génératrice rencontre l'axe des^ à une distance 8 de l'origine; on aura donc
da ■=■ o, da^ = <5.
De plus, elle est perpendiculaire à cet axe et fait un angle o avec l'axe des z. On aura donc
en négligeant la ditlerence entre la tangente et l'arc. On aura, par suite,
da
da
da,
-Ta'
doL
,, dh.
Substituons ces valeurs et celles de a, a,, «o? b^ 6i, 62, «2, ^2? d^i^s l'équation du plan tangent; elle deviendra
