est intéressant de chercher quelle est la nature
APPLICATIOx\S GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 4^7
particulière des surfaces réglées pour lesquelles une de ces deux conditions o = o ou 5 = o est constamment satisfaite.
Théorème. — U équation S = o exprime que la surface réglée est développable.
Cherchons en effet à quelles conditions la surface sera développable. Soient ^, JK, z les coordonnées du point où la génératrice touche l'arête de rebroussement, 9 la valeur correspondante de t. On aura
xz=:a-{-b9^ y'=zai-hbiB^ z^iay+b^O,
X, y, ^ et 8 variant en général d'une génératrice à l'autre, et par suite étant des fonctions de a.
Ces équations, différentiées par rapport à a, donneront
dxziz da ^ Q db +6 dQ^
dy m da^ h- 0 db^ + b^ dQ^ dz ■=. da^ + B db^ + b=j, dO.
Mais, la génératrice étant tangente à l'arête de rebroussement, ses cosinus directeurs seront proportionnels à dx^ dy^ dz\ ils le sont d'ailleurs k b^ hy^ b.x\ on aura donc, en désignant par |JL un facteur convenable,
dxz^ixb^ dy=ziKbi, dz^^z^xb^.
Substituant ces valeurs dans les équations précédentes, il
viendra
o=:da -hOdb -\- b (dô — ix),
o=z dai-i- 9 dbi-h bi{d9 — ]ul), o^:^ da^-h 9db.2-\- b2{d9 — p.).
Ces trois équations entre les deux quantités 0 el d^ — [Jt. ne seront pas compatibles en général, mais elles le deviendront si le déterminant
da
db
da,
db.
da.T,
db.
s'annule. Or ce déterminant est précisément L, numérateur
de a.
Donc 8 sera nul, à moins qu'on n'ait A = A, = A2=o, auquel cas le dénominateur s'annulerait également.
494. Les trois équations A = A<=:A2 = o équivalent à l'équation unique ^ = o. Si celle-ci est satisfaite, la surface sera un cylindre. Car, deux génératrices infiniment voisines ne formant qu'un angle du deuxième ordre, les cosinus directeurs de la génératrice, considérés comme fonctions de a, n'éprouveront qu'une variation du second ordre par rapport à l'accroissement de a. Donc leurs différentielles sont nulles; donc ils sont constants.
495. Deuxième cas : Congruences. — On a dans ce cas deux paramètres variables a,, ^ et, par suite,
C?a = -r- 6/a -h -rrrr <nf 6 ,
ooL dp
db= —da-h -jj^d^,
Substituant ces valeurs dans les expressions de A, \^^ )v2, T, /?, on voit que, pour une génératrice donnée D, correspondant à un système déterminé de valeurs de a et de 3,
ces cinq quantités ne dépendent que du rapport —• Il doit
donc exister entre elles quatre relations indépendantes du choix de la génératrice D, .
Proposons-nous de trouver ces relations.
496. Nous remarquerons tout d'abord que la quantité A^-j- AJ + Ag, qui figure au dénominateur des expressions X, )n5 ^^27 T,/?, ne pourra, en général, s'annuler pour aucune
valeur de -j- • En effet, il faudrait pour cela qu'on eût simultanément
A = o, Ai=o, A2=o,
db b
db, db^ ~ b, ~ b, '
OU, en appelant jjl la valei
Lir commune de ces rapports,
db , — da
db,,
dOL
db^,
-^dcL
équations qui ne peuvent subsister simultanément que si
l'on a
db
da
db, da
db,
db, doc
C'est là une équation entre a et p, qui est nécessaire pour que A^-l- AJ -h A^ puisse s'annuler.
Nous pourrons appeler génératrices singulières les génératrices de la congruence pour lesquelles l'équation (4) est satisfaite. Elles forment une surface réglée, dont on aura l'équation en éliminant a, p, t entre l'équation (4) et les équations
(5) x=:.a-\- bty y =zia,-h b,t, z^=ia,-\- b^t.
497. Supposons que D soit une génératrice ordinaire. T étant exprimé par une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont homogènes et du second degré en <fa, â?j3, et dont le dénominateur ne peut s'annuler aura un maximum Tq et un minimum 11 ^ toujours réels ; on pourra les
obtenir ainsi que les valeurs correspondantes de —-^ par la
^gO PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
méthode exposée au n" 407. Subsliluanl ces valeurs à la place de t dans les équations (5), on aura les coordonnées des points correspondants de D, exprimées en fonctions de a, p. Ces points se nomment points principaux. On nomme plans principaux ceux qui passent par les lignes de plus courte distance correspondantes à ces points et par la droite D.
Eliminant a et j3 entre les équations qui donnent les coordonnées d'un point principal, on obtiendra le lieu de ce point. On obtiendra de même le lieu du second point principal. Les deux surfaces principales ainsi obtenues pourront constituer, soit deux surfaces distinctes, soit plus habituellement deux nappes d'une seule et même surface.
498. Passons à l'examen de l'expression qui donne le paramètre de distribution p. Le déterminant L qui figure au
numérateur, étant du second degré en ~> s'annulera pour
deux valeurs réelles ou imaginaires de ce rapport. A chacune de ces deux valeurs correspondent une valeur de T et, par suite, un point de D.
Les deux points ainsi obtenus se nomment foyers. Ils pourront être réels ou imaginaires. Les lieux de ces points {surfaces focales) se détermineront comme les surfaces principales.
