Soient
da
les deux valeurs de -j- tirées de l'équation L = o ; M et M, da ^
seront des fonctions connues de a, (3.
Nous verrons dans le Calcul intégral qu'on peut trouver
pour[j une expression ji =: (p(a) qui satisfasse identiquement
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. ^gi
à l'équation difïerentielle (6) et qui, de plus, se réduise à ^q pour a=:ao, les constantes ao et po pouvant être choisies à volonté.
Gela posé, substituons ^ = 'f (a) dans les équations
œ =1 a -\- bt, r = «i -h 61 ^, z zz^ a2-h b^t
des génératrices de la congruence. Ces équations, ne contenant plus qu'un seul paramètre a, représenteront une surface réglée, dont les génératrices font partie de la congruence ; cette surface est développable, car, l'équation (6) étant une conséquence de l'équation p=:çp(a), on aura /?== o pour deux génératrices voisines prises sur cette surface. Enfin, cette surface contient la génératrice correspondante aux valeurs p = poj o'- = <^o des paramètres variables.
La considération de l'équation différentielle (7) donnerait une seconde surface développable jouissant des mêmes propriétés que la première.
On aura donc ce théorème :
Une droite quelconque D de la congruence fait partie de deux surfaces développables, formées de droites de la congruence.
On doit remarquer toutefois que ces surfaces n'auront d'existence réelle que si les valeurs de -^ déduites de l'équation L := o sont réelles.
La droite D est tangente à l'arête de rebroussemenl de chacune des développables dont elle fait partie.^ Mais ces arêtes de rebroussement sont évidemment situées sur les surfaces focales; on a donc cette proposition :
Toutes les droites de la congruence sont tangentes à chacune des surfaces focales.
On nomme plans focaux les plans menés par D et respectivement perpendiculaires aux lignes E de plus courte
distance correspondantes à ses deux foyers. Ces plans sont tangents aux deux développables qui se croisent suivant la droite D.
On a vu, en effet, que, dans une surface réglée quelconque, le plan tangent en un point situé sur une génératrice D à une distance z du point central fait, avec la perpendiculaire E, un angle V donné par la formule
tangVrrri;
dans une développable, où p = o^ tangV sera infini et V sera droit.
500. Pour nous rendre un compte plus exact de la distribution autour de D des droites de la congruence qui en sont infiniment voisines, prenons cette droite pour axe des z, en nous réservant de disposer ultérieurement de la position de l'origine, ainsi que de l'orientation du plan des xz.
Supposons, en outre, qu'on prenne z pour variable indépendante, on aura constamment «2 = 0, 60= i, d'où da2 = db2 = o. En outre, D ayant pour équations x = o, y = o, z =: t, on aura, pour cette droite,
Portons ces diverses valeurs dans les formules générales ; il viendra
A = — dbi, Ai^=db, A2=o
db, ^ db -
s/db'--V-db\ . \/db^^db\
N= — {dadb -h daidbi), L=idadbi — da^db
et, par suite
dadb ^ da^dbx dadbx — da^db
^^^ db^-^db\ ' ^- db^-^db\
Enfin, le déterminant (4) se réduira à db db
dbj^ db^
da ()(^ o o
db db db, âb^
D étant supposée une génératrice ordinaire, ce déterminant ne sera pas nul. On pourra donc des équations
#/ àb , db „
^^1 7 àbi ,
da (ip ^
déduire l'expression de dy. et d'^ en fonction linéaire de
db et dbi.
Les quantités da, dui , étant des fonctions linéaires de t/a,
<ip, deviendront des fonctions linéaires de db, db^, telles
que
da z=zV db -[- C) db,,
da,— Pidb + Qidb,.
On aura, par suite,
Pdb^-h{P,-hQ)db db, -i-Q,dbl
db'-^dbl '
— P,db''-^{P — Qi)db db, + Q db] db"" + db'\
Soit d'ailleurs d» l'angle que la plus courte distance forme avec l'axe des y. On aura
\ ^= — sirnj;,
cost];,
d'où
l db, tang^=-5^ = —
Les valeurs de z correspondant aux points principaux s'obtiendront en cherchant le maximum et le minimum de T. On
sait qu'il faut pour cela poser les équations
(9) 2P db -h {Pi-\-Q)dbi^ 2ixdb =0,
(10) {Pi-+-Q)db^2Qidb,-^2iJ.db^ = o,
d'où (u)
2P-h2a Pi-r-Q
Celte dernière équation donnera le maximum et le minimum cherchés. Les précédentes donneront la valeur corres-
1 1 db, , •
pondante de -rj- = tangy.
Supposons maintenant que nous ayons pris pour plan des zy l'un des plans principaux, et choisi à l'origine à égale distance des points principaux. On devra avoir un maximum
I 15 > dbi . ,j .
ou un minimum pour u; = o, d ou -77- = o, ce qui réduira
l'équation (10) à
Pi+Q = o.
L'équation (11) se réduira à
( 2 P -h 2 |ul) ( 2 Q, -+- 2 ]l;l ) zzz o,
et, ses racines devant être égales et opposées, on aura
Faisant donc Pt = — Q, Q, = — P, —1 = tang-i; dans les formules, il viendra
^ ^ i-htang2,J; ^'
(i3) p.— ■^ ^ , , ^' = P sm2d; H- Q.
^ ' ^ I + tang-'J; ^ ^
50L On déduit de ces formules des conséquences importantes :
i" T est maximum ou minimum pour 'ji = o el 6 = Ç)o"] d'où cette conséquence ;
Les deux plans principaux sont rectangulaires. 2^ p s'annule pour sin 2'i> = — ^, d'où
Tz=±Py/,-g=±v/J^^
Ces deux valeurs étant égales et de signe contraire, et moindres que P, on aura ce résultat :
Les foyers sont situés entre les points principaux, à égale distance du milieu de la droite qui les joint.
Les fojers seront d'ailleurs réels ou imaginaires, suivant que P sera ;> Q ou << Q en valeur absolue.
3" L'équation sin 2 'i; = — ^ a deux racines : <];o et ']>„.
Les plans focaux auront pour azimut h ^0 et iz — 'h^. On
voit donc qu'^Y^ font des angles égaux avec les plans principaux.
40 Si Q = o, les fojers et les plans focaux seront réels et se confondront avec les points et les plans principaux. Les plans focaux seront donc rectangulaires.
Réciproquement, si ces plans sont rectangulaires, on aura
d'où (Lo = o et, par suite, Q = o, et les autres propriétés ci-dessus auront lieu.
