Les plans focaux ont pour équation

y , sin 2(1*

œ I -1- cos 2(];

ils seront distingués l'un de l'autre par le signe du radical. Soit, enfin, D, une droite de la congruence infiniment

voisine de D ; elle aura pour équations

xzizda -\- dbt =zda -\- db ^ = (^-f-P)<iè-|-Q db^^ y = da^ -i- db^ t = da^ -h dby s= — Qdb -\- {z — P) db^ .

Elle rencontrera le plan focal (i4) en un point dont le z est déterminé par l'équation

— Qdb-^{z — P)db, Q

{z^\')db-+-Qdb,

Or, cette équation est satisfaite, quel que soit le rapport — ~j en posant z= ± y/P- — Q-.

Cette équation, jointe à l'équation (i4)j représente une perpendiculaire à D menée dans le plan focal et passant par le foyer. Cette perpendiculaire a reçu le nom de droite focale.

On peut donc énoncer cette proposition :

Les intersections d'une génératrice quelconque D^, infiniment voisine de D, avec les plans focaux, sont situées sur les droites focales (aux infiniment petits du second ordre près).

503. Il nous reste à étudier la distribution autour de D des droites infiniment voisines, lorsque D est une génératrice singulière.

Dans ce cas, le déterminant

db^ âb'

doc d^

dlh àbj

âa d^

étant nul, le rapport des quantités

db ^ db

âa â^

db, , âb, -— doc -f- — 5âoc dp

db db,

ne dépendra pas du rapport -^' On aura donc

d'où

tang^|> = -— = const.,

consl.

On pourra orienter les axes coordonnés de telle sorte que l'on ait <]> = o, d'où dbs = o.

Les formules (8) deviendront alors

ri. da

da^