P — IE
db
db
Si le déterminant (.5)
n'est pas nul, on pourra déduire des équations
ju àb j db ,-
les valeurs de <ia, d^ en da^ et en db. Substituant dans la
valeur de da =^ — d^ -\- -^ d^, on trouvera une équation de la forme
et, par suite.
da=iP dai -+■ Qdb
V^da^-i-Q db
db
Pp-Q.
On peut d'ailleurs, en déplaçant l'origine de la quantité Q, faire disparaître le second terme de cette expression. On aura donc les deux relations
4^ = 0, T = Pp.
Les génératrices infiniment voisines de D auront pour
équations
X ^=.da -\- dbz = P da^ -h dbz,
y :zi: da^ H- db^z :=■ da^.
Ces génératrices sont donc parallèles au plan des xz. Celles pour lesquelles da^ ■= o sont dans ce plan lui-même et rencontrent la droite D à l'origine des coordonnées. Celles pour lesquelles db =^ o sont parallèles à D. Ce cas diffère donc de celui des génératrices ordinaires en ce que l'un des foyers est rejeté à l'infini, l'autre étant à l'origine des coordonnées.
Enfin, si le déterminant (1 5) est nul, —jj- ne dépendant plus du rapport -j-^ on aura les deux relations
cj; =: o, /? = COnSt.
Désignons par P le rapport constant -jj-- Les génératrices infiniment voisines de D auront pour équations X zrz da -\- db z ^
et aucune d'elles ne coupe plus D à distance finie, mais celles pour lesquelles db =z o lui sont parallèles.
504. Troisiîîme cas : Complexes. — On a, dans ce cas, trois paramètres : a, p, y.
Soit D une droite du complexe. En la choisissant pour axe des z et prenant z pour variable indépendante, on pourra réduire ses équations à la forme
j7 = o, y=:o, z =. t, et celles d'une droite D,, infiniment voisine, à la forme zz=t, X =z da -{- dbz, y ^=z da^-\- db^z,
da^ dbj . . . étant linéaire en ^/a, t/p, c/y.
Supposons d'abord que D soit une droite ordinaire, c'està-dire telle que l'on n'ait pas simultanément
ôb^ âh^ ohi
âa d(3 ôy
doc d^ ây
Les deux équations
db — -— 6/a + — r (ip + -j- dy, ÔGf. âp dy '
,, dbx , ùb^ j^ âbi , dbi= -— da -\- —^ d^ -h -^ dy
ooc ()p ' ôy '
permettront d'exprimer deux des quantités c/a, d^^ «iy, par exemple <ia et <i[îJ, en fonction linéaire de db^ db^^ dy. Par suite, 6/<2, da^ deviendront des fonctions linéaires dî d) db^^ <^y, telles'' que
da ^V db^il db,^- W dy, dai — P, db + Qi <^//>i H- Kl dy.
Si l'on pose, en particulier, db ^= Ib^ ■==. o, ces équations se réduiront k da^ \xd-^, da^ = Ri '^y, et D,, ayant pour
X ~~ R fl^y, j =r= Rj (iy ,
sera parallèle à D.
Supposons le plan des zy orienté de manière à conlonir une des droites parallèles à D ; on devra avoir R = o.
Gela posé, entre les formules
da db -f- da^ dby da db^ — da^ db
~ db--\~db\ ' /^"^ db'--^db\ '
éliminons da^\ il viendra
T db —p db,z=~da=-Pdb--Q db, ou
T + P + ((^-yo)tang^-o,
5oo
PREiMIÈRE PARTIE. CHAPITRE IV.
OU enfin, en déplaçant l'origine sur l'axe des z de la quantité P, ce qui changera T en T — P,
T-h(Q — /?)tang^r=:o.
dh, ,
oOo. Si D était une droite singulière, le rapport —rr étant
indépendant de ^a, d^^ c^y, on aurait la relation plus
simple
tang^); = const.
