VIII. — Surfaces
o06. Considérons une surface définie par trois équations de la forme
Un plan
a\-\-bY+cZ-\-d—o
sera osculateursi l'on a
aœ + by -{- cz -\- d:=zo,
dx j dy dz
a- h6-r--hc-r- =o,
au ou ou
dx , dy dz
a- 'rb-f--^c— —o.
Ov OK' ov
Éliminant a, 6, c, d^ on a l'équation au plan tangent
ôjo dy dz
(i) o =^ du du du
dx dy dz
J7 di' dv
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOIl. 5oi
OÙ
ôy dz dz dy
du dv du dv
, ^ dz dx ôx dz
^ du dv du dv
P dx dy dy dx
du dv du dv
Remarquons les identités
. dx ^dy ^dz du du du
. dx ^dy ., dz dv dv dv
qui se résument dans la suivante :
(4) kdx -\-^dy-\-Cdz — o.
La normale aura pour équations
507. Le carré de la distance du point (w, v) au point infiniment voisin (w + «?w, V -\- dv) sera A:2;^+ Aj)/-4- As^. Sa valeur principale sera
(6) ds^=idx^-\-dy^-\-dz^—(^du-\-^dv ^ ' ^ \du dv
= E rff/2 ^ 2 F du dv 4- G dv"", en posant
p dx dx dy dy dz dz
du dv du dv du dv '
Ydxy /dry /dzY
Remarquons l'identité (8) EG-F^^A^-l-B^-f C^
508. La distance 8 du point (a-{-du^ v -^ dv) au plan langent en (zf, v) est
A ^.z' H- B Ay + C A:;
Pour déterminer sa valeur principale, remplaçons A.t, Ay, A^ par leurs développements
Les termes du premier ordre se détruisent et il vient Ad'oj-hBd-^f^Cd'z
D'ailleurs
d- T = -^^ du^ + 2 -^ :- du dv -\ — - dv^.
du''
au âv
Donc
(g) 2àz^Rda^-h 2Sdu dv -\-T di'^,
en posant pour abréger
au- au^ aw
du dv
du âv
du dv
dv dv^
509. Supposons que m et ç^ au lieu d'être indépendants soient liés par une relation donnée, ou, ce qui revient au même, soient d,es fonctions données d'un troisième paramètre /; ^, y, z deviendront des fonctions de /, et, lorsque
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 5o3
ce paramètre varie, le point {x^ y, z) décrit une ligne L, située sur la surface proposée.
Pour déterminer la tangente à cette ligne, son plan osculateur, etc., il faudra connaître les dérivées x' ^ x" ^ ...; y'-,y"i ...; z\ z"^ ... qui figurent dans les formules de la théorie des courbes gauches. Mais ces dérivées s'obtiennent immédiatement; soient en effet w', ?^", ...; v' y i'"^ ... les dérivées successives de u et de v; nous aurons
au à
,, à^x ,„ d'^x , . d^x ,„ dx ,, dx
oir ou ov ov- ou ôv
Les quantités x' ^ y', z' ainsi déterminées sont les paramètres directeurs de la tangente à L. Substituées dans l'équation du plan tangent, elles y satisfont identiquement. Donc le plan tangent au point (u, (^) est le lieu des tangentes aux courbes tracées sur la surface et passant par ce point.
Les rapports mutuels de x'j y', z' dépendent du rap-
port — = — . A chaque valeur de ce rapport repond une tangente déterminée.
olO. Cherchons les lois qui régissent la courbure des diverses lignes qui peuvent être tracées sur la surface à partir du point P de coordonnées m, i^.
Soient C l'une de ces courbes, PT sa tangente; M un point de G infiniment voisin de P; Q, R ses projections sur le plan tangent et sur la tangente PT; ds l'arc PM.
5o4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
On aura
cosQMR
Soit k la courbure cherchée. La valeur principale de MR est connue; elle est égale à
-kdsK
On
aura
donc
lim
