F;,(^-i- A^, y. . . ., w + 6,„^u) ^w, d'où
Am F^(^ 4- ^ A^, }-, ...,//)
Â^ "~~ F;^(^-H A^,/, . . ., w4- 0,„ Aw)
et à la limite, en faisant tendre àx vers zéro.
du
Ki^.y ")
du
Les autres dérivées -r— ? • • • se détermineraient de même. âv
92. Théorème. — Soient F,, ..., F„ n fonctions des m-\- n variables x, y, ... ; m, i^", (ip, . . . s^ annulant au point (^oj /oj •••; "07 ^05 ^^05 • • •)• *^^ Von suppose: 1° qu aux environs de ce point ces fonctions admettent des dérivées partielles continues; 2° que le déterminant
àj^ d¥, dj^
du dv dw
du
dv dw
ne s'annule pas en ce point, on pourra détermine/- un système de fonctions des variables x^ y^ ... définies aux en-
^^ irons du point (^o? yo? • • -^ prenant respectivement en ce point les valeurs Uq, Vq^ Wq^ . . . et qui enfin, substituées à la place de w, v^ w^ ... dans les équations Fi =z= o, ..., F«= o, les rendent identiquement satisfaites. Ce système de fonctions est unique, et ces fonctions admettent des dérivées partielles.
Ce théorème est établi par ce qui précède, dans le cas où l'on n'a qu'une seule équation, et nous pourrons, dans la démonstration, supposer qu'il ait été établi pour le cas de n — I équations.
Gela posé, pour que J soit ^o pour le point ^05
rivées
-; — 5 ••• soit dinerente de zéro. î^oit, par
exemple, ^^^o. On pourra, d'après le théorème du n° 91
^oj ^0? <^07 • • -7 il faut évidemment qu'une au moins des déôuq ôVq âwc
ÔUq
déterminer une fonction u de ^, y, ... ; p», w, ... qui satisfasse identiquement à l'équation F, = o et qui admette des dérivées partielles aux environs du point Xq., jko: • • • 5 ^07 W07 • • •• Substituant cette valeur de u dans les équations suivantes F2=o, ..., F„=:o, elles prendront la forme suivante :
Les fonctions <ï>.>, ..., <ï>//, étant respectivement égales à Fo, ..., F„, admettront, aux environs du point ^07 JK07 ••• j
^0, dx
(^0, ' • 1 des dérivées partielles
ôx
d¥^ du du dx
Le déterminant
Ji=
d^, •' dv -
d¥, d¥, du dv du dv
dv
dw
diV
des dérivées partielles relatives les termes qui se détruisent,
