Cherchons encore les maxima et minima de K
Cette expression, étant un quotient de deux formes qua-
f draliques - en du et dv dont celle qui figure en dénominateur
est toujours positive, admet toujours un maximum et un minimum réels. Pour déterminer ces courbures principales et les directions correspondantes [directions principales) nous aurons (407) à égaler à zéro les dérivées de/" — Xcp, d'où les deux équations
(R~-AE)«iM + (S — XF)^(^' = o, (S —\¥) du -h {T -IG) dç = o.
Eliminant -r-j il vient pour déterminer les courbures principales l'équation du second degré
(i5) (R — >E)(T — >G) — (S — XF)2=o.
Éliminons au contraire X; nous obtiendrons pour définir les directions principales l'équation
Wdu-\-S dv Edu-\-¥ dv Sdu-hTdv~ F du -h G dv '
qui peut s'écrire ainsi:
<yr- — du dv du-
Les deux directions qu'elle détermine sont toujours réelles. Elles sont en outre rectangulaires. Soient en effet v\^ v[^ les
deux valeurs que donne cette équation pour — • Les directions correspondantes auront pour paramètres directeurs
dœ dx ,
ou ôv ' Ou ov '
du ^ (Jç ''
ày , ày,
du du
Tv'^
ôz dv âz ,
Nous aurons donc à vérifier la relation
/ dœ dx , \ / dx dx ,
~ \du dv ^ )\du dv
= E-hF(r; + (.;) + G(^;(>;.
Or, en substituant les valeurs de v\ -\- v[,^ ^'{^'-i tirées de l'équation (i6) et chassant les dénominateurs, cette relation se réduit à l'identité
E(SG - TF) + F( ET - RG) + G(RF - ES) = o.
513. On nomme ligne de courbure une ligne tracée sur la surfa€e et telle qu'en chacun de ses points la direction de sa tangente coïncide avec une direction principale.
Pour obtenir une semblable ligne il faut donc trouver une
fonction v de u telle que — soit égale à l'une des racines v\^
v[^ de l'équation (i6).
Or l'équation différentielle
dv ,
APPLICATIONS GÉOMÉTIUQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. DOy
admet une famille de solutions
dépendant d'une constante arbitraire c, laquelle peut être choisie de telle sorte que, pour une valeur initiale donnée u =. Uq, V prenne une valeur ('o choisie à volonté. L'équation
du ^
donne un résultat semblable.
Il existe donc deux séries de lignes de courbure. Par chaque point (wq? ^o) passe une ligne de chaque série; ces deux lignes se croisent à angle droit.
ol4. Les lignes asymptotiques sont celles où la direction de la tangente en chaque point coïncide avec une des directions asymptotiques. Il y en a également deux séries, mais elles peuvent être imaginaires.
515. Appliquons les formules précédentes à la surface de la vis à filet carré, représentée par les équations
u COS ('
u sin ('.
= av.
Les dérivées partielles des coordonnées sont données par le Tableau suivant :
à au'
âv'
au-'- '
d'au ôv
à-" âv'"'
ces V
— Msinç^
— sine
— u COS c
sin r
u ces Ç
cosr
— ^/ sinr
5o8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
On en déduit successivement
E=zi, F = o, G=u^-\-a\
A--hB2-hC2=w^H-a2, - a
T=ro.
\/u--h a- L'équation des lignes asjmptotiques se réduit à
— du dv = o.
On y satisfait en posant soit u = const., soit (^ =: const. La première supposition donne une série d'hélices, la seconde une série de droites horizontales. L'équation des lignes de courbure sera
d'où
SJu'^a}
dv\
— du dv
du''
±: r == log(M 4- \/m^+ a') -h const.
u — \Ju^ -I- a^ =
et enfin
le double signe correspondant aux deux séries de lignes de courbure.
516. On prend souvent x eiy comme variables indépendantes. 11 faut alors poser, dans les formules précédentes,
a; =z M, jK = ^ et par suite
dx du-''
dx
du^ ~ dudv~ dv^ ~"^'
dy dTc-''^
du"^ du dv dv^
Restent les dérivées partielles
dz dz^ dH d'-z d^z dx dy dx^ dx dy dy^
qu'on représente généralement par
On aura par ces substitutions
Les ombilics seront définis par les équations r s t
i-i-p^ pq i + ^2>
la ligne des points paraboliques par celle-ci,
(i8) rt — s'^ — o\
les directions asymptotiques par celle-ci,
(19) rdx^--^2sdxdy-\-tdy-=zo] les directions principales par celle-ci,
(20) \{i-^p^)s — pqr'\dx'^^ [{\ -^ p^)t — {i + q'^)r]dx dy
^[pqt-{i^p')s'\dy-'=o.
Enfin les courbures principales seront données par l'équa-
5lO PREMIÈRE PARTIE. — «CHAPITRE IV.
tion
~pqh ] irro,
OU, en développant et posant pour abréger a^i -^ p
517. Pour mieux étudier la manière dont une surface se comporte aux environs d'un de ses points, nous choisirons ce point pour origine des coordonnées et la normale à la surface pour axe des z. On devra avoir en ce point
Le développement de z par la série de Tajlor sera donc de
la forme
ax'^-\- 1 bœy -h cy"^
On peut d'ailleurs choisir la direction des axes O^, Oy de telle sorte que b soit nul. Soit donc
