ax'^-h cy

On donne le nom à^ indicatrice à la conique

Si Ton coupe la surface par un plan horizontal ; = s voisin de l'origine, l'équation de la section sera sensiblement (dans le voisinage de l'origine)

2£ =z a^'2-f- cy^.

C'est une courbe semblable à l'indicatrice. Si <2 et c sont de même signe, la section sera une petite ellipse, réelle si e a le signe de a et de c, imaginaire dans le

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 5l(

cas contraire. La surface est donc tout entière d'un même côté du plan tangent.

Si a et c sont de signes contraires, les sections sont des hyperboles, toujours réelles. La surface traverse donc son plan tangent. Celui-ci la coupe suivant une ligne ayant un point double à l'origine, puisque aux environs de ce point la section peut être assimilée à un couple de droites.

Enfin, si a ou c est nul, l'indicatrice est formée de deux droites parallèles (cas particulier du genre parabole). Pour savoir dans ce cas si la surface traverse ou non son plan tangent, il faudrait discuter les termes du troisième degré enx,y, ceux du deuxième pouvant cesser d'être prépondérants si x eiy ne sont pas du même ordre de grandeur.

518. Cherchons l'expression de la courbure K d'une section normale, dont la tangente OT fait l'angle co avec l'axe des œ.

Fig. 20.

Prenons sur cette ligne un arc infiniment petit OQ; soient «^5 sa longueur; x, y, z les coordonnées du point Q; R sa projection sur OT. La courbure cherchée sera la limite du rapport

Or on a

X =z ORcoscp,

2QK = 25 = ax^ 7+-

y zzz OR sin(p,

cf -{-...= OR {a cos^cp -i- csin-cp) -\-

D'autre part ds a la même valeur princi[)ale que sa corde OQ, qu'on peut elle-même remplacer par OR puisque QR est d'ordre supérieur à OQ. On trouve donc pour la limite

5l2 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRK IV.

cherchée

(22) K rr: a cos^cp + c sin^cp.

Si a et c sont de même signe, K conserve donc un signe constant. S'ils sont de signe contraire, R peut changer de

signe. Il s'annule pour les deux directions tangcp = ± i /

qui donnent les asymptotes de l'indicatrice.

Si a ou c est nul, ces deux directions se confondent en une seule; K ne change pas de signe, mais il y a une direction où il s'annule; le point O est parabolique.

Si a = c, K a la valeur constante a\ le point O est un ombilic.

Si a et c sont inégaux, soit par exemple a^c. On peut écrire

K r==: <2 — {a — c) sifr-^^.

Il a son maximum a pour cp = o et son minimum c pour

Les directions principales sont donc celles des axes de l'indicatrice.