La normale au point [x^ y, z) de la surface a pour
équations
D'ailleurs ^, /?, q sont fonctions des deux variables Indépendantes x^ y. Les normales à la surface formeront donc une congruence. Mais cette congruence présente un caractère particulier.
Pour le reconnaître, cherchons comment se distribuent autour de la normale OZ les normales infiniment voisines.
On a
ax'^-{- c v*
p =:: aœ -h . . . , q-=cy -4- . . . .
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 5l3
Si donc on suppose x et y infiniment petits on aura au second ordre près
z:=zo, p — ajc, q^cy, ce qui donnera, pour équations des normales dont il s'agit,
— ax — cy ou
X = ^(l — ^Z), Yrr=r(l-cZ). ■
La droite ainsi définie rencontrera OZ si l'on peut satisfaire aux deux équations
^(l — «Z)=:0, y(l — cZ)=:0.
Si O n'est ni un ombilic, ni un point parabolique, cela pourra se faire de deux manières :
i"" En posant
xrz=. o,
2" En posant
Les deux foyers de la congruence situés sur OZ auront
pour ordonnées - et — Ils se confondront donc avec les ^ c a
centres de courbure des sections principales. Ces points portent le nom de centres de courbure principaux.
Les normales infiniment voisines de OZ qui la rencontrent au foyer Z = - correspondant à ^r = o ont pour équations
X = o, Y = j(i-cZ),
et sont dans le plan des YZ. Ce plan est donc le plan focal. De même, au foyer Z = - correspondra comme plan focal le plan des XZ ; d'où ce résultat :
Les plans focaux sont rectangulaires et se confondent avec ceux des sections principales.
5l4 PREMIÈRE PARTIR. — CHAPITRE IV.
Les plans principaux de la congruence se confondront avec les plans focaux, et ses points principaux avec les fojers (501).
520. Examinons maintenant le cas où O serait un ombilic ou un point parabolique.
i** Si O est un ombilic, on aura a = c. Les deux foyers coïncident ; elles normales voisines de OZ, ayant pour équations
X=r^(i — aZ), Y—.y{i — a7.),
viennent toutes la rencontrer au même point 7j = - -
2" Si O est un point parabolique, pour lequel on ait c = o par exemple, le foyer correspondant sera à l'infini. Les normales voisines de OZ auront pour équations
Celles pour lesquelles ^ = o seront parallèles à OZ ; donc OZ sera une droite singulière dans la congruence des normales.
52 L On voit par là qu'un système de droiles
.r --:: a -{- ht, y =z ai-}- Ùit^ Z ^rr: a.2 -t- />2 ^j
dépendant de deux paiMmètres a, p, n'est pas formé en général de normales à une même surface. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que sur chaque génératrice les foyers et les points principaux se confondent.
Proposons-nous de trouver directement l'expression de la condition pour que les droites de la congruence ci-dessus soient normales à une même surface S.
Posons pour plus de simplicité
\'//'-i- //f + h'i \Jh'-^ h]
Ci,
s/iy'-\-h\-\- h
l —z \Jb--^ b'I + blit.
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. 5l5
Les équations du système deviendront
œ z=z a ~{- cuy y :=. a^-\- c^u^ ^rziaj+c,^/, et l'on aura identiquement
et en difïérentiant
c de ^ c^ dc^ -\- C2 dc^ m o.
Soient Ç, 7], Ç les coordonnées du point où l'une des droites de la congruence rencontre la surface S ; 0 la valeur correspondante de II ; on aura
^, 7i, Ç, B étant des fonctions des paramètres a, 3. Différentiant, on aura
d\^:^da -\- B de + c <^0, df\^=i da^ H- ^ â^Cj H- Ci <i?^, <^^ = da=! -h 0 <^/c2 4- C2 <^5.
Ajoutons ces équations multipliées respectivement par c, c,, Cal il viendra
o =: c <i« -4- Cj <i<2i + C2 <^«2 + ^^^5
car c, C( , Co étant les coefficients directeurs de la normale à S, et d\^ d'f\^ <iÇ, ceux d'une tangente à cette surface, cd\ H- c^dr\ + c^dX^ sera nul.
L'équation que nous venons d'obtenir se décompose dans les deux suivantes :
da da, da^ âd
ôa doL da dof.
da ôa^ àa^ dO
Dérivons la première par rapport à j3, la seconde par rapport
5l6 PREMIÈRE PAIJTIE. — CHAPITRE IV.
à a et retranchons ; 8 sera éliminé et il restera l'équation de condition
ou, en efFectuant les calculs et supprimant les termes qui se détruisent,
, „ , \^ / âc da de ôa\
522. La considération de la congruence des normales fournit un nouveau moyen pour déterminer les directions principales et les centres de courbure principaux en un point (:r, y, ^) d'une surface.
Supposons x^ y, z exprimés au moyen de deux paramètres w, ('.
La normale au point (.r, y, z) a pour équations
et la normale en un point voisin aura pour équations
Xz=zx -^ dx + {K-\- dk)t^,
Z zszz -+-dz +(C -\-dC)l,.
Elles se rencontreront si l'on peut déterminer t et fi démanière à satisfaire aux équations
œ -h K t := X -\- djo -i- {A -h dX) II, j -f- B / =r )• + dy -4- ( B H- dB ) /, , z -\-Ct — z -r- dz -f- (C + dC)ti
ou, Cil réduisant,
i d.r ^ dkL^ 4- A ( /, — / ) = o,
( 'i\ ) { dy -\- d?>l^-\-W{l^ - - / ) — o,
( dz 4- dC, z, + C( .^, — /) = o.
Pour que ces équations soient compatibles il faut qu'on
Oi-
ait
dx dk A dy dB B dz dC C
En substituant dans ce déterminant les valeurs
, ^^ , âx j .. âk , dk. ,
dx t= -t— du -\ — -r- dç, dk z=z —— du -\ — r- d^' dv du dv
du
on obtiendra l'équation entre <^?^ et dç qui définit les directions principales.
Reste à déterminer le rayon de courbure principal
Pour cela nous calculerons la valeur de t [ou plutôt celle de t^ qui en diffère infiniment peu], d'après les équations (24).
Pour cela remplaçons dx, dk, . . . par leurs valeurs. Ces équations deviennent
dx dk \ ^ fd.r dk \ ^ ' ,
du du J \ âv dv j
Éliminant du, dv, t^ — t, il vient
dx dk
dTi'^'dr/'
dx dk dv dv
dy^dB^ du du '
^bi.ôB dv "^ dv ^'
dz dC
dFi~^d^/'
dz dC
dv ~^ dv ^'
équation du second degré en ^, dont les racines divisées par y/A^H-B^4-G^ donneront les rayons de courbure principaux
5i23. Lignes géodésicfues. — Ce sont des lignes telles que si l'on prend, sur l'une d'elles, deux points P, Q (suffisamment voisins) l'arc PO soit le plus court chemin qu'on puisse tracer sur la surface entre P et Q.
