CHAPITRE IV

Le plan osculateur à une ligne géodésique contient la normale à la surface.

Supposons en effet qu'au point P il fît avec la normale un angle 8. Menons la tangente PT à la ligne géodésique. SoitK la courbure de la section normale faite par cette tangente.

La eréodésique aura pour courbure r*

^ ^ ^ cos9

Soit Q un point de la géodésique infiniment voisin de P.

Par ce point et par la normale en P faisons passer un plan.

La section faite par ce plan dans la surface a au point P une

tangente PT' infiniment voisine de PT. La courbure K' de

cette section normale sera donc infiniment voisine de K et

par suite plus petite que y,-

* ITT ç(^gy

Or l'excès de longueur d'un arc ds de courbure A' sur sa

corde PQ est égal (483) •A^k'^ds'^ ou sensiblement à \ X:-PQ . Cet excès serait donc moindre pour l'arc de la section normale que pour l'arc géodésique ; celui-ci ne serait donc pas minimum comme l'exige sa définition.

524. On déduit aisément de cette propriété l'équation différentielle des lignes géodésiques.

Considérons eneff'et, le long d'une de ces lignes, ^, JK, z^ v comme fonctions de la variable indépendante u. Soient

leurs dérivées. Le plan osculateur

O/ , vO , • • • 7 • • • >

aura pour équation

Oo

Pour qu'il contienne la normale on doit avoir

Oc

Mais on a

, dx dx ,

du dv

., d^x â^^x , â^x ,. dx ,,

ôiû du dv âv^ 09

Substituant dans la relation précédente, on obtient une équation entre u, v, ç'^ v^' .

Cette équation différentielle du second ordre a pour solution générale une expression de Ja forme

contenant deux constantes arbitraires c,, c-^. On peut en disposer pour faire passer la ligne géodésique par deux points donnés, ou par un point donné avec une tangente donnée.

o2d. Courbure de Gauss. — Considérons une portion d'une surface S. On peut j distinguer deux faces. Choisissons arbitrairement l'une d'elles pour lui élever une normale. Cette droite sera définie en chaque point M non seulement en direction, mais en sens.

Fis. 21.

Par un point arbitraire O menons une parallèle à cette demi-droite. Le point m où elle rencontre une sphère de rajon un^ décrite autour du centre O, se nomme Vimage sphérique du point M.

Si M décrit sur la surface un contour fermé C, p décrira sur la sphère un contour fermé c. L'aire de la région /• intérieure au contour c sera par définition la courbui'e totale de la région R de la surface intérieure au contour G.

On lui donnera le signe -f- si les contours C et c respectivement décrits autour des régions R et /• sont parcourus dans le même sens; le signe — s'ils sont parcourus en sens contraire.

Le rapport des aires /' et R sera la courbure moyenne de la région R.

Enfin, on appellera courbure de la surface S au point M la limite de la courbure moyenne d'un élément infiniment petit de cette surface contenant le point M.

o26. Pour déterminer cette courlmre, supposons d'abord que l'élément considéré soit limité par deux lignes de courbure MN, MP qui se croisent au point M et par deux autres lignes de courbure infiniment \oisines PQ, NQ. Ces lignes

Fia. 22.

se croisant à angle droit, l'élément MINQP peut être assimilé à un petit rectangle plan et son aire R sera sensiblement représentée par MN.PQ.

D'autre part, la normale en N sera contenue (aux infiniment petits près du second ordre) dans le plan mené par la normale en M et par la tangente à MN; car elle passe par le centre de courbure principale et par le point N, qui tous deux sont dans ce plan. De même, la normale en P sera dans le plan mené par la normale en M et la tangente à MP. Ce plan est perpendiculaire au premier.

Donc les images sphériques des arcs MN et MP seront des arcs de grands cercles ran^ mp qui se coupent à angle droit. Donc, l'élément r sera un rectangle et aura pour aire le produit de ses côtés mn^ mp, qui ne sont autres que les angles formés par la normale en M avec les normales en N et P.

Or, on a évidemment

mn =. ky MN, mp =- k^ MP,

k^ et k^ étant les courbures principales au point M. Nous obtenons donc ce théorème :

La courbure G d\ine surface en un de ses points est égale au produit des courbures des sections principales.

527. Pour établir complètement cette proposition, il reste toutefois à montrer que le résultat subsiste si l'on considère sur la surface S un élément quarrable R de forme quelconque, au lieu de l'élément particulier délimité par des lignes de courljure, que nous venons de choisir.

Pour le faire voir, traçons sur la surface, aux environs du point M, un réseau de lignes de courbure infiniment voisines les unes des autres. Ces lignes partageront l'intérieur de R en éléments infiniment petits. Ceux qui rencontrent sa frontière peuvent être négligés à la limite, car la somme de leurs aires est infiniment petite, et il en est évidemment de même de la somme de leurs courbures totales.

Quant aux éléments intérieurs, limités par des lignes de courbure, on peut leur appliquer le théorème précédent. Soit donc de l'un d'eux; l'élément sphérique de' correspondant aura pour valeur principale de son aire l'expression k^k^de^ ki, k-i désignant les courbures principales au point (^,j^, z) origine du rectangle de.

L'aire r = S de' sera donc donnée par l'intégrale définie

ky kl de, prise dans T intérieur de R.

Or /ti, kl sont les racines de l'équation (i5 Leur produit est donc égal à

RT

C'est le quotient de deux fonctions continues de a et de c; d'ailleurs, le dénominateur étant égal à A- + B- + G^ n'est jamais nul. Donc k^k^ est une fonction continue, et l'on

pourra poser

c désignant la valeur de A", k2 au point M, et p un reste moindre en valeur absolue que £, si les dimensions de l'élément R sont assez petites.

On aura donc

/ kl ko de c j de -\- j p rh j p de

I de I de 1

de

Mais le second terme de cette expression tend vers zéro avec les dimensions de l'élément R, car son module esf moindre que

de

On a donc bien

,. r RT — S*

quelle que soit la forme de l'élément considéré.

528. Gauss a ('tabli l'identité suivante, (|u'on peut vérifier

ai

sémenl juir des calculs un peu laborieux, mais qui n'offrent

aucune difficulté :