F2)(RT

[dv dv

dF dG du dv

fdGy

^fdGdE du du

^dF dE dv du

/dEyi

^./dEdG \du dv

dE dG dv du

dE dF dG dF dv dv du du

dF dF

"^ ^ du dv

Jd'-E

d'F d''G\ du dv du^ )

Cette formule importante montre que RT — S-, et par suite la courbure c, peut s'exprimer au mojen des seules quantités E, F, G et de leurs dérivées partielles.

529. Surfaces applicables. — Soient S, S, deux surfaces, sur lesquelles le ds^ soit respectivement

ds^ = E du:^ + 2F du dv -\- G dv-.

ds\ — E, du] -h 2 Fi dui dv^ -f- G,dv\.

Etablissons entre ces deux surfaces une correspondance point par point, en supposant leurs paramètres w, (^ et w^, V\ liés par deux relations

On en déduit

du]^ z=z —I. du -\ — r-î- dv, dv, -=. -^ du -\ — ^ dv.

du dv du dv

Par la substitution de ces valeurs, ds] sera transformé en une expression de la forme

ds\ = C du"^ + 2 rf du dx -i - (f dv''- .

On dira que S< est applicable sur S si, en choisissant convenablement les deux fonctions C5, ']>, on peut satisfaire

aux trois relations

Ce ne sera pas possible en général.

530. Si deux surfaces S, S, sont applicables l'une sur l'autre :

i" Les deux surfaces S, Sj auront la même courbure aux points correspondants;

2° Les arcs de lignes correspondantes auront même longueur;

3" Deux régions correspondantes des deux surfaces auront même aire;

4° Deux lignes quelconques tracées sur S se coupent sous le même angle que leurs correspondantes.

i" En effet, en prenant les mêmes variables indépendantes u et V pour les deux surfaces, la courbure en un point donné ne dépendra (528) que des fonctions E, F, G et de leurs dérivées, qui sont par hypothèse les mêmes pour les deux surfaces.

2" Pour définir une ligne L tracée sur S, on doit établir entre les paramètres u^ v une relation

V—fll.

L'élément â?o- de son arc sera

et, si Uq^ u^ sont les valeurs de u aux extrémités de cet arc,

sa longueur sera

\/E -h xVj' ^i^J'^du,

Pour obtenir la ligne correspondante L| il faudra établir entre a et v la même relation; E, F, G n'étant pas changés

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUKS DE LA SÉRIE DE TAYLOIl. 525

par hypothèse, le d^j restera le même et devra être intégré entre les mêmes limites Wq et m,.

3*" L'élément de l'aire dans les deux surfaces a aussi la même expression

et devra être intégré dans le même domaine s'il s'agit de régions correspondantes. Les aires obtenues seront donc égales.

4^ Enfin, une courbe définie sur la surface S par l'équation V ^=^fu a pour coefficients directeurs de sa tangente

du dv^ ' âa d^y ' au "^ (Ji>-^ '

Une seconde courbe, définie par l'équation v =/{ u-, aura de même les coefficients directeurs

dx dx , âv ày , dz dz. âTi^ô^^'' ôTi'^âV-^'' ÔTi'^Tv'^''

L'angle V de ces deux droites sera donné par la formule

x .\ f (}x dx ,, \

•osV

dx ôx

/ 1 Ox àx .,Y / / âx ôx

expression qui ne dépend que des rapports mutuels de E, F, G.

o3L Cherchons quelles sont les surfaces applicables sur un plan.

Leur courbure doit être nulle, comme celle du plan luimême. Or, si l'on prend x, y comme variables indépendantes, l'expression générale trouvée plus haut pour cette

courbure