RT - S

se réduit à

rt — S'

Donc, z doit satisfaire à l'équation aux dérivées partielles rt — 5^ =: o.

Nous avons intégré cette équation (184) et montré qu'elle caractérise les surfaces développables.

532. Réciproquement, toute surface développable est applicable sur un plan. Pour le démontrer, nous exprimerons les coordonnées de ses points en fonction de deux paramètres particuliers.

Soient G l'arête de rebroussement, M un point quelconque de la surface, MN la génératrice qui y passe, N son point de contact avec C.

Fig. 9.?,.

Le point M sera défini si l'on donne l'arc ON = a- compté sur C à partir de l'origine des arcs, et la longueur NM =: / du segment à porter sur la génératrice.

Calculons la distance ds du point M au point voisin M' de coordonnées o- -f- d^T, / + dl.

Par N menons la parallèle Njjl à N'M' et menons les droites NQ, M'a, MP perpendiculaires à cette droite.

On sait que l'angle MNP a pour valeur principale kd<7^ k désignant la courbure de G au point N. Ce sera une certaine fonction de l'arc, telle que cp(a-).

D'autre part, M' p. est du second ordre par rapport à d<s. Donc MM' a la même valeur principale que Mjjl.

Or, ^ ^

M|jL =MpV V\l \

MP = MN sinMNPapour valeur principale l'f{<^) d<7. D'autre part,

P^ — PN — N|UL rrr /cosMNP — N' M'^- N'Q =z /(cosiMNP - i) — dl + N'Q.

Mais on a au second ordre près

cosMNPr^i, N'Qzr^da.

Donc

P^::=zd<7 — dl,

et finalement

ds''=zl^f{(j) dŒ^ 4- ( ^CT — dl)\

Or, on peut construire dans un plan une courbe dont l'équation intrinsèque soit /c=:cp((7). Sur une tangente à cette courbe menée par le point o- prenons une longueur /. Nous obtiendrons un point Mi correspondant à M.

Au point M' correspondra de même un point M', infiniment voisin de M, . Et la distance M, M^ = ds^ sera donnée évidemment par la même formule que nous venons de trouver pour ds. Les deux surfaces sont donc applicables l'une sur l'autre.

o33. Cette démonstration demande une légère modification lorsque, l'arête de rebroussement se réduisant à un seul point, la développable dégénère en un cône. Dans ce cas, coupons le cône par une sphère de rajon an ayant pour centre le sommet O du cône. Soit C la courbe d'intersection. Un point M du cône sera déterminé si l'on donne : i° la longueur / de la génératrice OM; 2" l'arc o- de la courbe C, com-

pris entre l'origine des arcs et le point N où C est rencontrée par OM. Et l'on verra aisément que la distance ds du point M de coordonnées /, a- au point voisin M' de coordonnées l-\-dl^ G -4- d<7 est donnée par la formule

ds^=Wlx\'lIw^=l'd(j''^dl\

expression identique à celle du ds^ d'un plan rapporté à des

coordonnées polaires.

Fig. 24.

Enfin, si le cône dégénérait en un cylindre, on rempla^ cerait la sphère précédente par un plan perpendiculaire aux génératrices. En prenant pour variables l'arc a- de cette section droite et la longueur l à porter sur la génératrice, on aurait

ds^=zda^-^dl-,

expression du ds- d'un plan rapporté à des coordonnées cartésiennes.

534. Soit une courbe plane située dans le plan des x.z et ayant pour équation

u désignant l'abscisse et z l'ordonnée d'un de ses points.

Si cette courbe tourne autour de l'arc des z et s'élève en même temps d'une quantité proportionnelle à l'angle v de

roLatiou, elle engendrera nue surface dite hélicoïde dont les équations seront

œ^=^uco?>v, y-rrwsinr, zz=zfu-\-av.

Son ds^ sera

ds^—{i-hf^)du^-h 2afdudv-{-{u''-^a'-)dv\

Les surfaces de révolution sont un cas particulier des précédentes; elles correspondent à l'hypothèse a = o.

Tout hélicoïde est applicable sur une sur/ace de révolution convenablement choisie.

Pour établir cette proposition il nous faut montrer qu'on peut remplacer u, v par de nouvelles variables ?/|, Vt qui réduisent le ds^ donné à la forme

[i -h c^'^Ui)]du\^ u\dç

Or, en complétant le carré formé par les deux derniers termes de ds'^, nous le mettrons sous la forme

{u''-{-a'')(dv-h -f , -+- iH , / du\

Posons

r afdu

Cette expression devient

u\dv\-\-^du\.

étant une fonction de u^. Elle aura la forme requise si l'on détermine la fonction o par la condition

d'où

53o PREMifîBE PARTIE. — CHAPITRE IV.

o8d. Rcprésenlalïons conforii es. — Lorsque les deux surfaces !S, Si coasidérées au n ' o29 ne sont pas applicables l'une sur l'autre, on ne peut satisfaire à la fois aux trois équations

Mais on peut déterminer les fonctions co et 'h qui établissent la correspondance de telle sorte qu'on ait

Si ces conditions sont satisfaites, la représentation ainsi obtenue des points de S, par des points de S sera dite conforme.

Une semblable représentation n'altère pas les angles, car l'expression donnée pour cosV (530) ne dépend que des rapports des coefficients E, F, (3.

La recherche des représentations conformes d'une surface sur un plan constitue le problème des caries géographiques.

Connaissant une solution de ce problème, on en déduira une infinité en la combinant avec les représentations conformes d'un plan sur lui-même.

536. La recherche de celles-ci revient à déterminer de toutes les manières possibles des fonctions X, Y, K des coordonnées .r, y satisfaisant à la relation

Cette é(|uation peut s'écrire ainsi

{dX 4- id\){dX~id\)=:K{da^ + idy){da' - idy).

On y satisfait en posant

dX 4- idY — (M -\-'^l){dx H- idy), dX — id\ - (M — Ni){dx - idy),

On a une autre solution en changeant le signe de Y.

On devra donc prendre pour X -f- iY (ou pour X — /Y) une fonction (arbitraire) de la variable complexe x + iy et pour M -f- N« sa dérivée.