IX. — Coordonnées curvilignes
540. Soient, comme au n*" 153, x, jk, 3 et t^ w, v deux systèmes de variables, liées par les relations
Supposons que, dans l'intérieur d'un certain domaine E : 1** les fonctions cp^, '^27 ^3 admettent des dérivées partielles continues; 2" leur jacobien J n'est pas nul; 3" à deux points (^, M, v) diflerents correspondent deux points (^, JK, ^) différents.
Lorsque (^, w, v) décrit le domaine E, (^, jk, s) décrira un domaine correspondant E', dans l'intérieur duquel t^ w, v seront réciproquement des fonctions de x^ y, s, telles que
Au lieu de déterminer la position d'un point de E' par ses coordonnées cartésiennes x^ y, ^, on peut le faire au moyen des nouvelles variables ^, u\ v\ car, les valeurs de celles-ci étant connues, on peut en déduire celles de x^ y, z, et réciproquement. On donne à ces nouvelles coordonnées le nom de coordonnées curvilignes.
Les points pour lesquels t a une valeur constante ^0 représentent une surface 4>i (^, y, z) = ùq^ que nous appellerons,
pour abréger, la surface tQ. En faisant varier cette constante, on obtiendra une famille de surfaces. Les équations
Il =z(!>^{x^ y, z) T^ consl., ç :=(^.;i{x, y ^ z) tzz consl.
représenteront deux autres familles de surfaces.
La valeur principale ds de la distance de deux points infiniment voisins (^, ii, i^) et (^ -f- dtj u -\- du^ v -\- di>) est donnée (153) parla formule
ds^zrz
: Ml dt^ + Ma du'^ 4- M3 ^p2 -h 2 N, du dç
-+- 2^idçdt-+- 2N^ dt du,
où
La valeur principale d\ de l'élément de volume compris entre les surfaces f, t-\-dt\ u, u-\-du\ v^ v^dv est donnée d'autre part (153) par la formule
(4) d^ r=^\l\dtdadKK
541. En chaque point x^y^ z passent une surface ^, une surface u et une surface v. Les plans tangents à ces surfaces ont respectivement pour équations
Ils se couperont à angle droit si l'on a
/ d^, ^0)2 ()a>i d^^ dO), (9^2 \ dx dx * dy dy dz dz
] d^^ d^z d^^ d^^ d^^ d(^^ dx dx dy dy dz dz
d^^ d<l>, d^., d<b, d<i>^ d^, \ dx dx ' dy dy ' dz dz
534 PREMIÈnE PARTIE. — CHAPITRE IV.
Si ces équations sont identiquement satisfaites, quels que soient x^ jk, z^ les surfaces des trois familles se couperont partout à angle droit, et formeront ce qu'on nomme un système orthogonal.
Dans ce cas, les expressions de ds"^ et de gTV, données cidessus, se simplifieront.
Considérons, en eflet, l'élément de volume compris entre les six surfaces t^ t -\- dt\ u^ u -\- du] ç^ v + dv. 11 se réduit sensiblement à un parallélépipède rectangle. Le carré ds'^ de sa diagonale sera donné |)ar la formule (3). Ceux de ses arêtes seront respectivement ^\\dt'^^ M^^du'^, M.^dv'^. Mais le carré de la diagonale doit être égal à la somme des carrés des trois arêtes. Donc on aura
ds^'z^zM, df" -f- M, diC- 4- iM3 dv''
et Ni, No, N3 seront nuls.
D'autre part, le volume du parallélépipède sera le produit de ses arêtes; d'où
d^ — v/MiMaMs dt du dv.
Nous allons passer rapidement en revue les systèmes de coordonnées les plus usités.
