X -3 /' sin); cos|jL, y =: rsinX sin^ji, z = /• cosX

Les variables /', )., [jl se nomment les coordonnées polaires du point (^, y^ z).

Ajoutant les carrés de ces équations, il vient

Les surfaces /•:= const. sont donc des sphères ayant l'origine pour centre.

APPLICATIONS GÉ05IÉTIUQLKS DE LA SÉIUE DE ÏAYLOH. 535

On a, d'autre part,

-^-^ .^ lai.g-X. • ^

■il'

Les surfaces \ =: const. sont donc des cônes de révolution autour de l'axe des z.

Enfin

l = tnng^.

Les surfaces ^ = const. sont donc des plans passant par l'axe des z.

Ces trois systèmes de surfaces se coupent évidemment à angle droit.

En faisant varier /• de o à oo, A de o à tt, et [jl de o à au, on obtiendra tous les points de l'espace, chacun une seule fois. (On doit excepter les points de l'axe des z pour lesquels [JL est indéterminé. A l'origine, X est également indéterminé.)

= sin^A cos'^iJL -h cos^Xcos^jj. -t- sin^|jL = i,

«.=(ï)'-(iy-(s

= r^ cos^X cos^p. -}- r^ ces-). sin^jjL 4- /"^ i^in^X = r^,

= r^ sin^A sin^^/jL 4- r^ sia-X cos^^ = /•* sin"^À

et, par suite,

ds^ — dr^ -h /-^ dr- + r^ sin^ l du"-, dW r=zi r^ s'inl dr dl d^.

L'emploi des coordonnées polaires est surtout avantageux dans les questions relatives à la sphère ou aux surfaces de révolution.

536 PREMlfeUE PARTIK. — CHAPITKE IV.

o43. Coordonnées semi-polaires. — Pour les cylindres droits, on emploie de préférence les coordonnées semi-polaires

X =r /'COSjUl,

y = /sin^,

Les surfaces z = const. représentent ici des plans parallèles au plan des xy, les surfaces /• = const. des cylindres x^-hy^= /'^, de révolution autour de l'axe des z; les surfaces |JL = const., des plans — =tang u. qui passent par cet

axe. Ces surfaces se coupent à angle droit, et l'on obtiendra

tous les points de l'espace, une fois chacun, en faisant varier

r de o à oc, [jl de o à 2tc, ^ de — oo à + oo (sauf pour l'axe

des ^, où pi est indéterminé).

On a ici

Ml r:= COS^/JL -+- sin'"^ = I ,

et, par suite.

ds^ = dr^ -+- /•' diJ.^ -h dz d\ 1= r dr d\t,dz.