Coordonnées elliptiques, — Les surfaces X2 Y

où \ est un paramètre variable, forment un système de surfaces homofocales du second degré.

Par chaque point x^ y, z de l'espace passent trois surfaces du système, dont les paramètres seront les racines de l'équation

d« troisième degré en A.

APPLICATIOAS (lÉOYlÉTRIOUES I)H LA SÉRIE DK TAYLOH. 087

54o. Cette équation a ses trois racines réelles, et respectivement comprises entre — S. et — B, entre — B et — C, entre — G e^ + co (en supposant, pour fixer les idées, qu'on ait A > B > G}.

En effet, posons X = — A -|- s, e étant une quantité positive infiniment petite; le premier membre de Téquation deviendra

Le premier terme — est positif et infiniment grand. Il

l'emportera sur les autres, qui sont finis. Le résultat de la substitution sera donc positif.

Si l'on posait X = — B — s, le premier membre de l'équation deviendrait

et serait négatif, le second terme ^ — j qui est négatif et infini, l'emportant sur tous les autres.

Donc, le premier membre de l'équation change de signe entre }v = — A-he et \ = — B — e. Or, il est évidemment continu dans cet intervalle. Donc, il s'annulera entre ces limites.

On voit, de même, que 1 = — B H- e donnera un résultat positif; X= — G — £ un résultat négatif. Donc, il y a une seconde racine réelle dans cet intervalle.

Enfin, À = — G -(- £ donne un résultat positif; X = + oc un résultat négatif. Donc, il y a une troisième racine réelle, supérieure à — G.

Lorsque X est < — A, A-t-X, B + X, G + X étant négatifs, la surface représentée par l'équation (i6) sera imaginaire.

Si A>— A et <— B, A + X étant positif et B + X, G + A négatifs, la surface sera un hyperboloïde à deux nappe-i.

538 l'RF.MlfcRK PARTIE — CHAPITRK IV.

Si A >> — B <; — C, ce sera un hjperboloïde à une nappe.

Enfin, si X > — C, ce sera un ellipsoïde.

Donc, en chaque point de [^espace se croisent t?^ois surfaces du système, à savoir : un hyperholoïde à une nappe, un hyperholoïde à deux nappes et un ellipsoïde,

546. Ces surfaces se coupent à angle droit. — Soient, en effet,

x^ Y- yj

deux de ces surfaces qui se coupent au point {^x^ )^, z). Leurs plans tangents ayant respectivement pour coefficients

A4-Xi' B-hA,' G + >./

A 4- >., ' B-hXs' cn^'

la condition de l'orthogonalité sera

^^^ (A+XO(A+X,) "^ (B4-Xi)(B+A,) "^ (G4-}.,)(G+>.,) ^•

Or cette équation s'obtient immédiatement en retranchant l'une de l'autre les deux équations

A -H >.o B -\- h G 4- Aa et supprimant le facteur commun Xo — ^i-

547. Prenons maintenant pour nouvelles coordonnées d'un point {x, y, z) les trois racines A,, X^, A3 de l'équa-

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR. SSg

tion (6). Elles seront liées à x, y, z par les relations

A + Al B -f- Ài C + }^,

A -h X3 B -^ A3 C + >.3 Des deux premières, on déduit, par l'élimination de z-,

^Â:^r>;-A + Aj ^VB-hX, b + aJ-^ " '

ou, en réduisant et supprimant le facteur commun Ao — ^m, A G . B-G ,^

(A + A0(A-+->.2)"^""^(B4-Xi)(Bh-}^0'^ '■

On trouvera, de même,

(A + >0(A+X3)"^ "^ (B + AOlB+^a)-^

Éliminons jK^^ il viendra

A-G fB-\-l, ^~^^2\^2^^

A -h Xi VA 4- A3 A + >.2^ ou, en réduisant et supprimant le facteur ).;$ — Xo,

(A-h>;0(A-hX2)(A + }i3)'^ ''

On trouvera, de même,

^ (B4-Ai)(B + >.,)(B + X3) ^'- (B-A)(B-G)

54o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

Les coordonnées ^, y, z n'étant déterminées que par leurs carrés, à chaque système de valeurs de A,, A2, X:j correspondront huit points, dont un seul situé dans le trièdre des coordonnées positives.

548. Pour calculer l'élément de l'arc ds en fonction deX,, ^2, X35 prenons les dérivées logarithmiques des deux membres des équations précédentes. Il viendra

dœ dl, dl^

X A -h Xi A + >.2 A 4- \ dy d\^ d\^ dï.^

y B + Ai B4->.2 B + >>5

dl: