Reste à calculer la somme
et ses analogues.
Substituant les valeurs de x-^ y^, z-^ cette somme devient
(A + X2)(A + >3) , (B-hA,)(B-+->>3)
4 L(A — B)(A — G)(A-t->.i) ' (B — A)(B-C)(B-i-Xi)
(G + X,)(G4-A3) "+" (C-A)(G-B)(C-f-X elle est égale à
4 (A + Xi)(B+Xi)(G + X,)*
On peut le vérifier immédiatement en appliquant à cette dernière expression, considérée comme fraction rationnelle en À,, la règle connue pour la décomposition en fractions simples.
Donc, en désignant par Mi cette fraction et par Mo, M3 deux fractions analogues qu'on obtiendrait en permutant circulairement X,, Xo, X3, on aura
(8) cis'-u^dix-^^Udii^yi^crki,
o50. TnÉoRiiME DE DupiN. — Si ti'oîs systèmcs de surfaces
F(^% jK, ^) = const., $(^, r, 5) ~- const., ^(^-, /, ^) =: const.
forment un système orthogonal, elles se coupent mutuellement suivant leurs lignes de courbure.
Soient F(x, y^ z) — c = o, ^{x^ y, z) — c< = o deux surfaces quelconques prises dans les deux premiers systèmes. Prenons pour origine des coordonnées un point quelconque de leur intersection ; pour plans coordonnés les plans tangents à ces surfaces et à la surface W[x^ y^ z) — C2= o du troisième système qui les croise en ce point.
Le plan des xy étant tangent à la surface F — c, on aura, pour X =^ o, y = o, ^ = o, -•;
Ox or
âF .
On aura, d'ailleurs, ;t- <o, sinon l'origine serait un point
singulier sur la surface F — c, hypothèse que nous excluons. Le plan des yz étant tangent à la surface $ — c,, on aura, de même, pour .2? = jj/ = 3 = o,
mais
dx "
Enfin le plan des zx étant tangent à la surface W — Co, on aura, toujours pour ^ =: y = :: 1= o,
OW dW d'y ^
Oz dx dy ^
Gela posé, les trois systèmes étant orthogonaux, on aura identiquement
àF d^ dj d^ ^ ^
dx ôx ây ôy àz Oz
()^ âW 0^ àW à^ àW
dx dx dy dy dz dz ~~ ^
^ ^ d^dF^ dW dF^
dx dx dy dy dz dz
Prenons la dérivée de la première équation par rapport ky\ il viendra
^^F d^ dF ^ (PF m dx dy dx dx dx dy dy^ dy
dF d''^ d'-F d<t^ dF d-^
dy dy'^ dz dy dz dz dz dy
K V ' A 1 ' . dF dF d^ d^l> ,
A 1 orierme des coordonnées, ou -— , -—5 ^—^ -— s an- ^ ' dx dy dy dz
nulent, cette équation se réduit à
d'F d^ dF d'^ dx dy dx dz dz dy ~
APPUCA.TIONS GÉO>IÉTRIQUKS DE LA SÉRIE DE TAYLOK. 5/|3
Prenant de méine la dérivée de la deuxième équation par rapport à 5, celle de la troisième par rapport à x^ et faisant ensuite x = y ■=. z^=o^ on trouvera les deux équations analogues
à Y dz ôy ôx dx âz dz dx dz dy dy dx
Ces trois équations, linéaires et liomogenes en - — — , , montrent que ces quantités s annulent, car le
dy dz dz dx
, , . dF d^ dW
déterminant de ces équations, étant égal a 2 -r ■ r—
* ' ° dz dx dy
est ^o.
On aura donc, à l'origine des coordonnées, non seulement
d¥ dF . d'F
b — c = o, -T— == o, -r— = o, mais encore
dx dy dx dy
Gela posé, soient, pour abréger, A, B, C, ... les valeurs
, dF i d'F i d'F y . . . ' • j TU
de ^) - -T— ::> — r-r> ••• pour 1 origine. La série de Macdz 1 dx^ 1 dy^ ^ ^
laurin donnera
Ge développement ne contenant pas de terme en xy^ les plans coordonnés seront les sections principales de la surface F — c. Donc, l'axe des y^ qui est tangent à l'intersection des deux surfaces F — c, <ï> — c,, sera en même temps tangent à l'une des sections principales.
Mais l'origine est un point quelconque de l'intersection des deux surfaces F — c et ^ — c, ; cette courbe sera donc tangente en chaque point à l'une des sections principales, ce qui est l'une des propriétés caractéristiques de la ligne de courbure.
544 PREMli<:RK PARTIE. — CHAPITRE IV.
ool. CouoLLAiKE. — Les Ugiies de courbure dUine quadrlque sont ses intersections avec les quadriques liomofocales.
Car les ellipsoïdes et les hyperboloïdes homofocaux à la quadrique considérée forment un système orthogonal.
COURDFS PLANKS ALGÉBRIQUES. 545
