CHAPITRE I

à V. iv

ôv dv

âV,

du d^

dF^ du

d¥, dw d¥,

diV

du d^'

dF,

dj,

d¥^ du

d¥, du

^ I du du

Remplaçant -r- , —, * ' dv dw

par leurs valeurs

dF,

àF, '

iendra

éga

le a -r^T^ àF,

àF, : et, comme — ; — a au du

point (^05 J'oj •••; ^0,^0? ^^'o) • • •) une valeur finie et différente de zéro, J, sera lui-même fini et différent de zéro.

On pourra donc, par hypothèse, déterminer des fonctions i^, (^, . . . des variables indépendantes ^, y, ..., qui satisfassent identiquement aux équations <ï>2 = o, (p^ = o, ..., qui se réduisent à (^o, t^o, . . . pour x = Xq, y =z y^, . . ., et qui admettent des dérivées partielles aux environs de ce point. Substituant ces valeurs de ^, (^j ... dans l'expression de «, on obtiendra pour u^ i', tp, . . . des fonctions àe x^ y^ . . . satisfaisant aux conditions requises.

'93. On donne le nom de fonctions implicites à celles qui sont ainsi définies par un système d'équations non résolues

( Fi(^, 7, ••-, u, v,w, ...) = o, (5)

La démonstration précédente montre à la fois que ces

0¥, du

du ôœ

\ ôx

du ôœ

ôx

fonctions w, v^ (p, . .. existent et qu'elles admettent des dérivées partielles.

L'expression de ces dérivées partielles s'obtiendra d'ailleurs aisément en dérivant les identités (5) par rapport aux diverses variables indépendantes. On trouvera ainsi, en dérivant par rapport à x^ par exemple,

système d'équations linéaires dont la résolution donnera

du ôv à^v p 1 f • T 1 '

-— j -r-' -r-' •••' sf>^iî^ lorme de tractions ayant J pour deno- ()x ox dx j i

minateur. Ce déterminant étant par hypothèse une fonction

continue de x^ y, ... et de ;/, c, (v, . . . qui sont elles-mêmes

continues en x^ y-i - - ■ est une fonction continue de ^, y,

D'ailleurs, au point .^o, Yq. . . ., on a u = Uq^ v = (',), ... et

J ne s'annule pas. Donc, dans un certain domaine autour de

ce point, J sera encore différent de zéro, et les valeurs de

dM dv r ■ \ ' ' /^\ 1

-r— } —, •. • lournies par les équations (o) ne pourront de-

ij Ju (J JL

venir illusoires.

94. Les considérations précédentes fournissent la solution d'une question importante :

Soient

(7) "l=/l('^"n •••, ^/O, U„^—f„,{x^..,,Xa)

m fonctions des n variables indépendantes x^, ..., x^ admettant des dérivées partielles continues. Nous dirons que ces fonctions sont indépendantes s'il n'existe entre elles aucune relation qui permette d'exprimer l'une d'elles au moyen des autres.

Un système de fonctions tel que (7) étant donné, propo-

sons-nous de rechercher combien il contient de fonctions indépendantes.

A cet effet, formons le Tableau des dérivées partielles

âx\^

àf,„

dXn

Avec les éléments communs à un certain nombre de lignes de ce Tableau et à un nombre égal de colonnes on peut constituer un déterminant. Construisons tous les déterminants de ce genre. Nous pourrons énoncer le théorème suivant :

ThéorIeme. — Si l'un des déterminants à p- éléments, tel que celui-ci

âxi

àfp âxi

dXn

âXr

ne s^annule pas au point (ç,, ..., ^,f), et si au contraire tous les déterminants à {p -(- i)^ éléments sont identiquement nuls aux environs de ce point :

i^' Les fonctions m,, . .., Up seront indépendantes aux environs de ce point ;

2° Au contraire, u fonction de u^^ . .

pourront s'exprimer en

1° En effet, soient v^^ ..., Vm les valeurs de u^^ ..., Ujyi au point (;,, .. ., ;„). Les équations (7) étant mises sous la forme

le déterminant des dérivées partielles de leurs premiers membres par rapport à ^,, ..., Xp^ if-p^K^ •••, «w sera évi-

demment égal à ( — i)'"'"/^D. 11 sera donc différent de zéro au point (^,, . . ., i„, (^, , . . ., Vm) et l'on pourra regarder les équations (8) comme définissant implicitement x^^ ..., Xp^ Up^K. . . ., iim en fonctions de w<, . . ., Up^ ^/>+m • • •? ^n aux environs du point (t>,, ..., c^,, S/>+n "•> i«)- ^ chaque système de valeurs a^, ..., w^, ^pj^\^ •••, ^n suffisamment voisines des valeurs initiales v^^ ..., Vp^ S/j+i, •••i ?n correspondra un système de valeurs de ^<, . . ., Xp. Donc, réciproquement, w^, ..., lip pourront, par un choix convenable de valeurs de ^4, . . .. Xn prendre tout système de valeurs suffisamment voisin de ^'<, ..., Vp, Donc les fonctions u^^ . .., Up sont indépendantes.

1*" D'autre part, Wyr,+<, . . ., iim sont aussi des fonctions des nouvelles variables indépendantes u^^ . . ., w^, ^p+t, • • •< o^n- Mais il est aisé de voir qu'ils ne dépendent pas de Xp^^, . . ., Xn- Soient en effet z^^ l'une quelconque des fonctions Up^^, ..., Um', ock l'une quelconque des variables ^>+i, ..., Xn] nous

allons montrer qu'on a ^— ^ = o.

^ ÔXk

On trouve en effet, en dérivant les équations (8) par rapport à Xh^

df, ôx, ^ ^ âf, dxp ^ ^/i Q

ôx^ ôxk ' ' ' dXp dx,, dxk '

àfp àx, ^ ^ àfp dxp ^ ôfp ^ âxi âxk ' ' ' ôxp dxi, dx,, '

dfi dx, ^ ^ dfi dxp dfi du, dx, dx,, ' ■ ' dxp dxk dx,, dx,, ~

,,. . . dx, dx„ 3u, en éliminant -— i , • ••) -— ^, dx,^. dx,.

n àii, ^ ^ du,

u - — = o, et enfin -r — rr= o.

dx,, dx,.

Donc f//;^i. ..., u,n sont fonctions de w,, ....

, Up seule

ment, et la seconde partie du théorème est démontrée.

95. Le cas le plus intéressant de cette'analjse est celui où m = n. Dans ce cas, pour que les n fonctions u^., ..., Un soient distinctes, il faut et il suffît que le déterminant

Èù

ne soit pas identiquement nul.

Cela équivaut évidemment à dire que les différentielles totales

dx.

-h ~dx„,

ÔXa

dxi

sont linéairement distinctes.

Le déterminant J se nomme le jacobien des n lonctions u^^ . .., Un par rapport aux variables x^, . . ., Xw

On le représente souvent par la notation

â{xi, . . .,Xr,)'

afin de rappeler qu'il joue dans la théorie de ce système de fonctions un rôle analogue à celui de la dérivée dans celle des fonctions d'une seule variable. Voici quelques exemples de ces analogies :

i" Supposons que Xi^ ..., x^^ au lieu d'être indépendantes, soient elles-mêmes des fonctions de nouvelles variables j^^'i, . . ., y m définies par des équations

Ui—fi{x^, . ,,,Xn)

Les fonctions deviendront, par la substitution de ces valeurs, des fonctions

de r<, . . ., fn, telles que eL l'on aura évidemment

Le déterminant

àiyi fn)

formé avec les éléments — — !•? est évidemment le produit des deux déterminants

àA

d{uu • • •> ««)

àfn

àU

~ d{oc^ jc„)

ôx„

ày.

ùy„

d{0C^, . . . Xa)

ày^

àyn

"■^(yi ••-,/«)

n a donc

. ., lia) à {x^, . . ., :r„)

6>(y,, ..., yn) à{x^, ...,x„) â{yi, ...,/«)

Supposons, en particulier, que les variables x soient exprimées en fonction des variables w, de telle sorte que j,, . . ., y^ se confondent avec w,, . . ., Un- La formule précédente deviendra

t)(i^,, . . ., w„) â{Xi. . . ., x,i)

â{Xi, . . ., Xn) à{uu • • -1 "«)

Les formules (9) et (10) sont la généralisation évidente de

go PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

celles qui donnent la dérivée d'une fonction de fonction ou d'une fonction inverse.