I. — Coordonnées homogènes

55^. Considérons un plan dont les points soient caractérisés par deux coordonnées cartésiennes X, Y. Si noas supposons que l'une des deux coordonnées X, Y, ou toutes deux à la fois, croissent indéfiniment, de telle sorte que l'un

au moins des deux rapports — j -^ tende vers une limite finie

et déterminée, nous conviendrons de dire que le point (X,Y)

tend vers un point déterminé, défini par cette limite, lequel

point est situé à l'infini, et sera regardé comme appartenant

au plan.

Posons

(I) X=rf, Yr.:^,

x^ y, z étant trois nouvelles variables, assujetties à la condition de rester finies et de ne pas s'annuler à la fois. A chaque point du plan (complété par l'adjonction des points à l'infini) correspond un système de valeurs déterminé pour les rapports mutuels de oc^y^ z, et réciproquement.

Soit F (X, Y) = o l'équation d'une courhe d'ordre /?. Remplaçant X, Y par leurs valeurs ( i ) et chassant les dénominateurs, il viendra

/étant un polynôme homogène de degré n. J. - L

En particulier, une ligne droite sera représentée par l'équation générale du premier degré

uœ -I- cy H- CV3 t= o.

Les points à l'infini sont donnés par l'équation

qui est un cas particulier de celle-là. Le lieu de ces points peut donc être assimilé à une droite.

oo3. Posons

Ç, 7j, Ç, S, H étant de nouvelles variables, et X, [J-, v, ... des constantes dont le déterminant D ne soit pas nul. Soient L, M, N, . . . les mineurs de D ; ces équations, résolues par rapport à ^, -^i, Ç, donneront

Ç=: jf >

et X, Y seront liés à S, H par les relations

^^ ' L\ -hiyY-i-T/ „ MX -h M' Y -f- M

NX -+- N'Y -+- X" NX -h .M'Y -+- iN"

Ces éq'uations, ({ui définisSenl sans ambiguïté les rapports

mutuels de ?, '/], Ç, en fonction de ceux de^,y, z et réciproquement, peuvent être interprétées de deux manières :

1° On peut considérer x, y^ z et Ç, y), Ç comme deux systèmes de coordonnées différents représentant un même point. Dans ce cas, Ç représente, à un facteur constant près, la distance de ce point à la droite

O rzr ^ =: L^ -H h' y -f- L" Z " Z ( LX -^ L' Y + L"),

et de même pour t\ et v Le point est ainsi caractérisé par les rapports de ses distances aux trois droites ? = o, yi = o, Ç r=z o. Ces droites forment un triangle qu'on nomme triangle de référence ; Ç, rj, Ç seront des coordonnées trilinéaires. La courbe /=o, rapportée à ces nouvelles coordonnées, aura pour équation

/(>.| + f^rj + vC, ..., ...) -o,

dont le premier membre est encore homogène et de degré n. 2® Considérons au contraire Ç, Tj, Ç comme des coordonnées de même nature que x^y^ z. A chaque point (^,y, z), les équations (2) feront correspondre un autre point (?, yj, Ç) généralement diff'érent, et qu'on nomme son transformé homo graphique. La courbe /(^,jK, 5) = o aura pour transformée la courbe

En particulier, la droite à l'infini g = o aura pour transformée la droite

et la droite

aura pour transformée la droite à l'infini (^ = o.

554. Soit (X, Y) un point du plan, situé à distance finie, ainsi que son transformé homographique (E, H) ; on aura, d'après cette hypothèse,

VE H- [iJ'll -h v" > o, NX -f- N'Y -4^ N" > &,

Soient (X,,Y^) et (Xj+AX,, Y,-l-AY<) deux points quelconques infiniment voisins de (X, Y); (S,, H,) et (S, +AS, ,H, -f-AH, ) leurs transformés ; l'écart | AX, | -h |AY, | des deux premiers points sera du même ordre de grandeur que l'écart | AE, | -h | AH, | de leurs transformés.

On a, en effet,

}.(EiH- AZ|) +^(Hi4- AHi)+v lEj-hixU.-^v

r^PASli + QAH,,

P et Q tendant vers des limites finies lorsque AS, et AHi tendent vers zéro. On aura donc