AX,|5|P||AE,| + |Q1|AH.| = R[|AÏ.| + |AH
R étant une quantité finie.
On trouvera, pour | A Y, |, une limite analogue. Donc le rapport de I AX, I -h I AY, | à | AS, | + | AH, | ne peut surpasser un nombre fixe. Et comme on peut faire le même raisonnement sur son inverse, on voit que les deux écarts considérés sont du même ordre de grandeur.
11 résulte évidemment de là que, 5/ deux courbes F = o, Fi= o ont un contact d'ordre m au point (X, Y), leurs transformées <ï) = o, (!>, = o auront le même contact au point (S, H).
Nous avons admis, dans la démonstration, que (X, Y) et (S, H) étaient tous deux à distance finie. Mais le contact de deux courbes en un point à l'infini n'a été, jusqu'à présent, l'objet d'aucune définition. JNous dirons donc que deux courbes ont un contact d'ordre m en un semblable point lorsque, ce point étant ramené à distance finie par une transformation homographique, les courbes transformées ont un contact de cet ordre. Cette Convention permettra d'énoncer le théorème sans restriction.
o5o. Covariants. — Soit
COUHBES PLANES ALGÉBRIQUES. 5^9
un polynôme homogène de degré n, dont les coefficients soient des constantes indéterminées. Par la transformation homographique (2), nous obtiendrons un nouveau polynôme
f{Xi -h fJLY] + v£, ...,...) = 9(2, ri, O -= 2 Aap^^«YîPÇï
de même degré, et dont les coefficients A^py seront des fonctions linéaires des «r/apy.
Gela posé, soit P (^,y, 5, . . ., «apy, • • •) un polynôme entier et homogène en x^ y^ z d'une part, et par rapport aux coefficients <^apy d'autre part. Si, en substituant pour ^, y), Ç leurs valeurs (3) en x^ y^ z et pour A^py, . . . leurs valeurs en «apy, . . -, on a identiquement
(5) P(?,Y],C, ..., Aocpy, .. .) = MP(^,7,^, ...,«apy, .-•).
M désignant un facteur convenable, on dira que P est un covariant de/. Ce sera un invariant si x^ y, z n'y figurent pas.
Il est aisé de déterminer la nature du facteur M. En eff*et, le premier membre de l'équation (5) est du même degré que P (.r, jK, z. . . ., «apy? • • •)' ^^^^^ P^r rapport aux variables x^ y, z que par rapport aux coefficients «apy ^^ quotient M sera donc une fonction de X, [Ji, v, . . . seulement, laquelle
sera d'ailleurs rationnelle et de la forme ^> Q désignant
un polynôme entier.
En appliquant, d'autre part, aux fonctions cp (ç, t^, Ç) et P(^, Yi, Ç, . . ., Aapy, . . .) la transformation homographique (3) inverse de la précédente, on reviendrait évidemment à la fonction primitive f{x, y^ z) et la condition d'invariance donnerait
(6) V{x,y,z, .. .,aa,^y, . . . ) = MiP(^, tq, C, • • -, Aa^y, . . .),
le facteur M, = ^ se déduisant de M par le changement de
L L' L" X, p., V, ... en ^, ^, ^,
55o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE V.
La comparaison des équations (5) et (6) donne
car les déterminants D, D< sont réciproques. D'ailleurs, L, L', L", . . . , D sont des fonctions entières de X, pi, v, ... ; donc
Qi, qui est entier en tt' tt*' • ' sera de la forme p— ?
R étant un polynôme entier en A, [a, v, .... Donc, pour que l'on ait QQt = I, il faudra que Q divise D^ et, par suite, se réduise à une puissance de D. Donc, enfin, M sera une puissance de D, positive ou négative, telle que D^.
Pour déterminer l'exposant A, considérons la transformation particulière
(7) œ — ll, y — U, z.^lt:,
pour laquelle D = À-^
La fonction y étant de degré «, cette substitution multipliera tous les coefficients par ').^, On aura donc, si P est de degré m par rapport aux variables et de degré/? par rapport aux coefficients,
