P(I,VÎ
-, Aa^y,
) = p(f,|-,^, .. ,A"a,py, .,
et, par suite.
^l-"'^''PP{j^,y,z., ...,«'apy,
kz
— m H- np
Ce nombre doit être entier ; s'il ne l'était pas, il faudrait en conclure l'impossibilité de l'existence d'un covariant P de l'espèce supposée.
556. Les covariants satisfont à un système d'équations différentielles qu'il est aisé de former.
Faisons, en effet, la transformation particulière de déterminant I
(8) a, = l-[-en, y=^ri, 5 = Ç,
d'où
on aura
/(? 4- Sf], Y], O = -S^apvd 4- £-r];«riPC^
ou, en développant et négligeant le carré de l'infiniment petit £,
. fit 4- s-n, -0, C) :=^ lao^^y'^-n^^y-h Ica^aPYl^-^'o^^'C^.
Cliangeons, dans la seconde somme, a en a + i et p en [ïi — i et réunissons-la à la première : il viendra
/(4 4- £-0, Y), 0 — ^[«aPyH- £(a + l)«a-hi,p-i,y]4''-^^S'
et, par suite,
AapY= «apyH-£(5« + l)<2a-4-i, ^,,y
(le second terme n'existant pas si 3 =:: o).
Gela posé, l'équation (5) se réduira, dans ce cas particulier, à
P(^ — £/,/, s, . .,«!apy4- £(a4-l)^a+i.p-i.y, •.•)
ou, en développant suivant les puissances de e, négligeant encore son carré et supprimant le facteur s,
dP -., , ^P
-j-4-2(a-hi)aa^,,p,,,^^.= o,
la sommation s'étendant à toutes les valeurs des indices pour lesquelles a + ^ + v =r /? et p > o.
En permutant les variables ûo^y, z et en même temps les indices a, j3, y, on obtiendra cinq autres équations analogues, exprimant que la condition de covariance est satisfaite pour chacune des substitutions particulières
y — ri,
DD7. l'IlKMlÈRK PAUTIK. — CIIAr'ITRE V.
Réciproqiieinent, tout polynôme homogène qui satisfait à ce système d'équations différentielles est un covariant. En effet, en vertu de l'homogénéité, il satisfait à la condition de covariance pour la subslitution (-y), et l'on peut s'assurer aisément que toute substitution liomographique s'obtient par la combinaison de substitutions successives des espèces (^),
557. Pour mettre en lumière l'importance de la notion des covariants, nous remarquerons qu'une propriété particulière de la courbe
ozzzf{x,f,z) ■=zlao^fiyœ°^y?zy
est généralement caractérisée par une ou plusieurs relations entre ses coefficients.
Admettons qu'une certaine propriété soit représentée par un système d'équations.
les c étant les coefficients d'un covariant P. Celte propriété sera commune à toutes les transformées homographiques de/.
Soit, en effet,
/( A> -f- iiri + vC, ....... ) = V Aapy£^-o^-r
l'une de ces transformées ; on a identiquement, par hypothèse,
o = P(^,7, 3, . ..,«apy, .. .) = PO.l^iJ.'n-hy!:, . . .,^a.3r, • . );
et, en vertu de l'équation (6), on aura de même identiquement
P(^, -^, r, .. , Aa^y, .. .) = 0- .
Ces propriétés communes à une courbe et à ses transformées se nomment propriétés projectiles. On appelle propriétés métric/iies celles qui sont au contraire altérées par une transformation homographique.
Nous allons passer en revue quelques-uns des covariants les plus simples.
558. Discriminant. — Il est généralement impossible de déterminer les rapports de x^^y^^zàç, manièr-e à satisfaire simultanément aux trois équations
àf ôf df
ôx ày âz
L'élimination de ces rapports donnera, en effet, une équation de condition
Le polynôme A se nomme le discriminant de/. C'est un invariant. Soit, en effet,
(lo) /(A^ + pr) --Hvç, ..., ...)--9(ç, Y],;:)
une transformée homographique de/, et soit A| son discriminant. La condition nécessaire et suffisante pour qu'on
puisse annuler simultanément les dérivées partielles ~, -^ y
^ ^ â^ dn
-r^ sera A, = o.
Mais, si nous prenons les dérivées partielles de l'équation ( lo) par rapport à E, r), Ç, il viendra
Si donc on peut annuler à la fuis —> ~, -/-^ on pourra ^ âx ôy âz ^
^ , ^ r • do <)(û âo) , . J-. ,
annuler a la tois-v? -— ? — r? et réciproquement. Donc les de d'fi (J'Ç, ^ ^
deux équations A = oetA,=o sont équivalentes, et A, A,
dx (Jy dz
do
àf , df „ df ' dx ' dy ' dz
àf , df „ df dx dv dz
~ dlf
PHEMIÈRE PARTIE.
