Hessien. — On appelle hessien de /le déterminanl

d'-f dxd:

ÔY âj-

àyàz

ôz djo âz à y ôz^

Ce n'est autre chose que le jacobien des fonctions — >

r^-j-^iet H = o exprime, comme on sait, la condition dy dz^ ^

nécessaire et suffisante pour qu'il existe une relation linéaire

,df ,ôf ,df entre d^, d^, d^ox oy oz

Soit H, le hessien de cp ; H, =o sera la condition pour

qu'il existe une relation linéaire entre les différentielles de

-T?-' -r-> -^' Mais les équations ( i i ) différentiées permettent

ol ôf] ot, -L \ / 1

d'exprimer linéairement ces différentielles par celles de — >

-T^) -7-j et réciproquement. Si donc il y a une relation entre ôy ôz ^ ^ -^

ces dernières difierentielles, il j en aura une entre les premières, et réciproquement. Les équations H = o, H,=o sont donc équivalentes et ne peuvent différer que par un facteur indépendant des coefficients.

Le hessien est donc un covariant.

560. Polaires. — Soient .r, y, z el x\ y' ^ z' deux séries de variables, assujetties à une même substitution homographique

j jr = >.| -I- /JLY) H- vÇ. . . . ,

COURBES PLANES ALGÉDRIQLIS. 555

On aura évidemment

Cela posé, soil/(^, jK, z) "n polynôme qui, par la substitution ci-dessus, se change en

9(?ro,C);

f(j[--\-x'\j'-\-y, z-\-z') se changera évidemment en

Développant les deux membres de l'égalité suivant la série de Taylor, il viendra

( ,ô__ , d ,dy

^ \ dt df] ôK J T . 2

égalité qui deviendra identique si l'on y remplace x^ y^ z^ x' ^ y ^ z' par leurs valeurs (12). En égalant séparément les termes d'un même degré m par rapport à ^', r\ ^ Ç', il viendra

Donc l'expression

ô.r ^ ôy dz J ''

est un covariant de/*, pourvu que a?', y' ^ s' y soient soumis à la même transformation homographique que ^, r, z.

Ce covariant se nomme la m^^"^^ polaire de /par rapport au point {x' ^ j'^ z').